4. Рівняння динаміки виконавчих елементів

4.1. Мотор постійного струму з незалежним збудженням

Н а рис. 4.1 зображена схема включення мотора з незалежним збудженням. Мотор керу­ється напругою, що живить обмотку якоря. Керованою величиною є швидкість обертання якоря , збурюючою величиною момент опору . Вважаючи момент інерції якоря мотора і приведених до якоря моментів інерції наванта­ження, згідно рівняння Даламбера, маємо

, (4.1)

де – рушійний момент мотора, пропорцій­ний добутку струму якоря і потоку збудження

, (4.2)

– конструктивний постійний коефіцієнт; – струм якоря. Так як , тоді . Рівняння електричної рівноваги роторного кола має вигляд

(4.3)

де – напруга живлення обмотки якоря; – опір і індуктивність обмотки якоря; – конструктивний коефіцієнт; ; – противо-електрорушійна сила, що створюється якорем мотора при обертанні його зі швидкістю [об/хв]. Відомо що – швидкість обертання в [рад/с] пов’язана з співвідношенням:

. (4.4)

Підставивши (4.2) в (4.1), отримаємо

. (4.5)

Підставивши (4.4) і (4.5) в (4.3) і розділивши змінні, отримаємо повне рівняння динаміки об’єкта керування

. (4.6)

Розділивши (4.6) на , отримаємо

, (4.7)

де .

Коефіцієнт – має розмірність часу. Так як він залежить і від механічних і від електричних параметрів мотора, він називається електромеханічною сталою часу мотора з незалежним збудженням. Коефіцієнт також має розмірність часу. Оскільки він залежить лише від електричних параметрів обмотки якоря мотора, він називається електричною сталою часу якоря.

Вважаючи, що при значення змінних були отримаємо з (4.7) рівняння стану рівноваги

. (4.8)

Вважаючи, що при запишемо повне рівняння (4.7), використовуючи його лінійність, з врахуванням абсолютних приростів вхідних і вихідної величин

. (4.9)

Виключивши з (4.9) рівняння (4.8), отримаємо рівняння динаміки мотора в абсолютних приростах

. (4.10)

Еквівалентність (4.10) і (4.7) є наслідком лінійності останнього. Звідси можна зробити висновок про те, що при лінійності повного рівняння елементу САК рівняння динаміки цього елементу в абсолютних приростах може бути отримане заміною в цьому рівнянні повних значень змінних їх приростами.

Введемо позначення відносних змінних , , , тоді рівняння динаміки мотора з незалежним збудженням у відносних приростах буде

, (4.11)

де .

Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (4.11)

. (4.12)

З рівняння (4.12) можна знайти передатні функції за усіма вхідними діями. Зокрема, передатна функція за напругою живлення обмотки якоря мотора буде мати вигляд

. (4.13)

Підставивши в (4.13) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією

. (4.14)

Цей запис є тотожним виразу (2.71), де

(4.15)

Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (4.15).