Информационная экономика. Книга 2 - Нижегородцев Р.М

j=1

При этом все коэффициенты αij при i ¹ j положительны и выражают технико-экономические связи между отраслями, в известном смысле аналогичные связям межотраслевого баланса. Коэффициенты αii при всех i=1,...,n отрицательны и выражают логистический характер рос-

экономическими пределами этого логистического роста, так что все βi в уравнении (9) положительны.

Заметим, что если коэффициенты αij имеют смысл балансовых коэффициентов, то есть при всех i=1,...,n

n

xi (t) = åαijxj (t),

j=1

то для темпов роста данных отраслей имеет место аналогичное соот- ношение, то есть

dxi (t) = ån αij dxj (t). dt j=1 dt

Уравнение (10) выражает тот факт, что случайные (стохастиче- ские) прямые потери валового продукта в каждой отрасли, вообще говоря, пропорциональны объему валового продукта этой отрасли,

причем в качестве коэффициентов пропорциональности в данном случае приняты совокупный объем валового продукта всех отраслей и коэффициент диссипации γi > 0, зависящий от характера отрасли.

Обозначим через W(t) величину совокупного общественного продукта в момент времени t:

n

W (t) = åxi (t).

i=1

Наша задача заключается в том, чтобы представить функцию W(t) как функцию n зависящих друг от друга переменных x1, ..., xn:

W = W(x1 ,...,xn ).

Согласно определению,

В то же время, полный дифференциал этой функции равен

91

координатами градиента функции W(x1,...,xn), то тем самым среди па- раметров xi будут выделены те, от которых W в известном смысле

сильно зависит, т.е. для которых ∂W велик по сравнению с другими.

∂xi

Инвестиции в эти отрасли и дадут наиболее выраженный эффект прироста функции W(x1,...,xn): увеличат совокупный общественный

Распределение инвестиционных ресурсов по выделенным сек- торам x1,...,xn должно осуществляться пропорционально абсолютным значениям координат градиента функции W(x1,...,xn) — таков ответ на

исходный вопрос нашей задачи об оптимизации инвестиционного процесса.

Один из возможных методов поиска оптимального варианта инвестирования в рамках описываемого здесь “гладкого” аналога приводимой ниже итерационной модели заключается в следующем.

Максимизируемая функция

рассматривается как функция n переменных x1 ,...,xn при условии

n

åxi = W0 ,

i=1

где значение W0 соответствует текущему значению функции W. Применяя метод множителей Лагранжа, обозначим

и исследуем на безусловный экстремум функцию f(x) + λФ(x),

считая все x1,...,xn независимыми переменными. Для этого потребуем, чтобы при каждом i = 1,...,n

∂f (x) + λ ∂F(x) = 0,

∂xi ∂xi

что равносильно системе n уравнений

n

å(αij + α ji - γ j )xj + βi - γ iW0 + λ = 0,

j=1

i= 1,...,n, с n неизвестными x1,...,xn и множителем Лагранжа λ . Малым изменением значений коэффициентов, входящих в

данную систему, всегда можно добиться того, чтобы соответствую- щая матрица была невырожденной. Решая эту систему относительно

92

x1,...,xn, получим значения xi (λ) и найдем требуемые значения λ из

условия

n

åxi (λ) = W0.

i=1

Отыскивая для каждого из полученных значений λ объемы произ- водства отраслей xi, подставляем их в формулу для dWdt и тем самым

определяем точки ее условного максимума.

Среди всех найденных точек (x1,...,xn) определяем ближайшую к текущему состоянию x0 вектора x. Задавая направление от x0 к бли- жайшей точке условного максимума, имеем стандартную задачу управления по отклонениям, которая может быть решена различны- ми путями в зависимости от метрики, принятой в пространстве n , которому принадлежат точки (x1,...,xn). При этом, разумеется, суще- ственна устойчивость данной задачи по начальным данным, т.е. ва- жен тот факт, что малые изменения вектора (x10,...,xn0) не могут по-

влечь за собой сколь угодно большие изменения W и dWdt . При дан- ном (впрочем, весьма приблизительном) способе оптимизации задача

решается без вычисления значений ∂W в точке x0.

∂xi

Приведенные соображения позволяют перейти непосредствен- но к описанию предлагаемой итерационной модели.

Исходные уравнения модели

Вданной модели время t дискретно; в качестве шага по време- ни при среднесрочной оптимизации разумно принять один год. Зна- чения величин, относящиеся к s-му итерационному шагу, помечают- ся верхним индексом (s). Производная любого параметра по t отме- чается точкой вверху, над условным обозначением этого параметра.

Вэкономике имеются n секторов, разделенных по структурно- технологическому признаку, причем производство рабочей силы может предполагаться в качестве одного из них. Объем валового

продукта i-го сектора обозначается через xi. Все цены в пределах од- ного шага итераций предполагаются неизменными, после каждого шага возможен пересчет всех коэффициентов с учетом изменивших- ся ценовых пропорций и технико-экономических показателей.

Один из недостатков данной модели — абстрагирование от экспорта-импорта. Впрочем, эти товаропотоки также могут быть уч- тены на основе их взаимного замещения в натуре, но при этом необ- ходимо предположить относительную стабильность норм этого вза-

93

имного замещения между предшествующим и последующим шагами итерационного процесса.

Динамика многосекторной экономической системы задается системой итерационных дифференциальных уравнений

при всех i=1,...,n, где

В уравнениях (12) и (13) присутствуют положительные кон- станты αij, βi, γi, где i, j=1,...,n. Здесь αij — балансовые коэффициен- ты, а именно, αij — это объем продукции j-й отрасли, необходимый для производства единицы продукции i-й отрасли. βi — коэффициен-

пала стоимостным выражением технологического предела логисти- ческого роста величины xi, вытекающего из закономерностей разви- тия соответствующего технологического уклада хозяйства. γi — ко- эффициенты диссипации, находимые статистическими методами по данным ряда последних лет.

Все коэффициенты αij, βi, γi подлежат периодическому пере- счету по мере изменения технико-экономических условий производ- ства и корректировки коэффициентов межотраслевого баланса. Кор- ректное применение данной модели требует, вообще говоря, ежегод- ного пересчета этих коэффициентов независимо от того, каким при- нят период итерационного шага модели.

Из вида уравнения роста (12) вытекает, что рост величины xi складывается из суммы собственного (логистического) и индуциро- ванного (балансового) роста. При этом член собственного роста (первое слагаемое правой части) выражает лишь технико-

экономические закономерности развития данного технологического уклада, господствующего в i-й отрасли хозяйства, и может давать

лишь прирост xi , поскольку технический прогресс в некотором смысле поступателен и необратим. Разумеется, переход отрасли к более низким технологическим укладам требует пересчета всех ко- эффициентов, входящих в данный член, однако и более низкий тех- нологический уклад будет развиваться прогрессивно, согласно закону логистического роста. Именно этот факт и выражает априорная по- ложительность члена собственного роста.

94

В отличие от него, член индуцированного роста (второе сла- гаемое правой части уравнения (12)) может давать как прирост, так и

уменьшение xi в зависимости от того, растут или падают объемы производства в тех или иных секторах хозяйства.

В зависимости от горизонта технико-экономического прогно- зирования и оптимизации, требуемых для применения данной моде- ли, логистическая и балансовая составляющие могут быть более или менее значимы для роста отраслей экономики. Долгосрочное прогно- зирование предполагает приоритет логистической составляющей. Оптимизация в краткосрочном периоде, напротив, требует усиления балансовой составляющей данной модели. С этой целью в уравнение (12) вводятся “безразмерные” нормирующие коэффициенты ri(s) и ki(s), пересчет которых предполагается на каждом шаге итерационно- го процесса. Для целей среднесрочного прогнозирования и оптими-

зации предлагается выбрать

Обратим внимание на то, что ri(s) + ki(s) ¹ 1 для экономики, в которой объем валового продукта одних отраслей растет, а других — сжима- ется.

Правая часть диссипативного уравнения (13) также содержит два члена, причем оба они выражают стохастические потери величи-

ны xi : собственные, растущие пропорционально объему валового продукта i-й отрасли, и индуцированные, растущие пропорционально скорости спада всех отраслей хозяйства, но не всех в равной степени, а в той мере, в которой их продукция необходима для производства продукции данной i-й отрасли. При этом собственные потери связа- ны с авариями, катастрофами, стихийными бедствиями, бракованной конечной продукцией и т.д. Индуцированные потери связаны с омертвлением товарно-материальных ценностей и выпадением их из

воспроизводственных процессов в силу разрыва межотраслевых и внутриотраслевых связей (незавершенка, долгострой, поставки бра- кованного сырья или комплектующих и т.д.).

В зависимости от состояния экономической системы на разных этапах ее развития собственные и индуцированные потери могут иг-

рать более или менее заметную роль в формировании темпов роста объема продукции тех или иных отраслей. Поэтому в уравнении (13) введены нормирующие коэффициенты ui(s) и vi(s), где можно принять

95

j=1

Вреальной экономике соотношение между ri(s) и ki(s), а также между ui(s) и vi(s) для разных отраслей, строго говоря, будет различ- ным. В зависимости от реальных условий может возникнуть необхо-

димость применения данной модели с иными коэффициентами ri(s), ki(s), ui(s), vi(s), чем это предусмотрено равенствами (14) и (15).

Применение модели

Обозначим величину совокупного общественного продукта че- рез W:

j=1

Представляя W как функцию n зависящих друг от друга переменных x1,...,xn, каждая из которых зависит от времени, будем иметь:

динаты градиента функции W.

Применим принцип виртуальных перемещений и предполо- жим, что функция W изменяется лишь по одному i-му аргументу, а

.

все остальные фиксированы. Тогда для произвольного i и малых xi в силу формулы Тейлора будем иметь:

Линеаризуем полученное соотношение и, отбрасывая остаточный член, перейдем к приближенному равенству:

»ç ÷ × xi . è ∂xi ø

Всилу определения W, выражаемого равенством (16), заклю- чаем, что в левой части (19) стоит разность xi(s+1)—xi(s) и, тем самым,

96

однако это еще недостаточно точный ответ.

В самом деле, суммируя приближенное равенство (20) по всем i, а затем применяя к левой части соотношение (16), а к правой — (17), будем иметь:

. (s+1) W (s+1) - W (s) » W .

Если допустить теперь, что погрешность линеаризации в (19) для

бы удовлетвориться и полученным соотношением (21) или его более точным аналогом:

Однако такое допущение нельзя признать правдоподобным ис- ходя из вида остаточного члена в формуле Тейлора (18). Вид оста- точного члена дает основания полагать, что погрешность, приобре- тенная в результате линеаризации, раскладывается по отраслям при-

близительно пропорционально коэффициентам

xi

представляет собой приближенное значение, полученное для вели-

Вновь суммируя по всем i=1,...,n, получим, что

åωi(s+1) = W (s+1) - W(s) - W . i=1

Принимая для каждого i пропорцию

97

и, наконец, из (23) получаем для каждого i=1,...,n

где величины ωi(s+1) определяются равенством (24).

В силу изложенных выше причин оптимальным является такое распределение инвестиционных ресурсов между отраслями, при ко- тором вложения в каждую i-ю отрасль пропорциональны значению

быстрое и значительное увеличение совокупного общественного продукта в данной экономической системе. Та группа отраслей, у ко-

раслями, играет роль “полюсов роста” данной хозяйственной систе- мы: вложения в эти сектора хозяйства создадут предпосылки всеоб- щего экономического подъема.

В то же время, уменьшение инвестиций в данные отрасли хо- зяйства, будь то стихийный отток капитала или его преднамеренное изъятие, способно наиболее быстро и значительно снизить объем ва- лового продукта в данной экономической системе, вызывая или уг- лубляя тем самым спад физических объемов производства. Причи- ной этого факта выступает не только мультипликационный эффект, завязанный на балансовые составляющие рассматриваемой модели, но и закономерности динамики технологических укладов, выражае- мые логистическими членами соответствующих уравнений.

Применение принципа виртуальных перемещений в данной модели может дать некоторые основания полагать, будто предло- женная модель работает тем точнее, чем меньше продолжительность ее итерационного шага. Тем не менее, это неверно, поскольку инве-

стиционные лаги значительно уменьшают точность определяемых

. (s)

равенствами (12) и (13) зависимостей Gi и Di от x j . Точность этих зависимостей будет тем выше, чем ближе итерационный шаг к сред-

98

ней продолжительности оборота капитала в данной экономической системе.

Выбор слишком малого по времени итерационного шага может вызвать необходимость модификации данной модели с целью учета данных не только предыдущего шага, но и нескольких предшест-

вующих шагов при вычислении xi согласно формулам (11). При этом в разных отраслях эти данные могут учитываться с разными ве- совыми коэффициентами, в зависимости от средней скорости оборо- та капитала в той или иной отрасли.

Данная модель хорошо применима к условиям депрессивной экономики, однако наличие переменных нормирующих множителей делает ее в этом случае неустойчивой не только по начальным дан- ным, но и по параметрам. Это обстоятельство не очень удобно на практике, но оно представляет собой неизбежную плату за прибли- жение данной модели к экономической реальности.

В самом деле, неустойчивость по параметрам хорошо согласу- ется с реальным поведением депрессивных экономических систем. Она, в частности, означает, что в данной технико-экономической системе достаточно лишь мало изменить балансовые коэффициенты, или переместить ряд предприятий отрасли в более отсталый техно- логический уклад, или мало увеличить коэффициенты диссипации (например, в определенный год случилось больше аварий и стихий- ных бедствий по сравнению со среднестатистическим уровнем), и в

результате вектор валового продукта данной экономической системы (x1,...,xn) способен претерпеть значительные негативные изменения, т.е. может наступить, например, обвальный спад производства. Это обстоятельство должно внести серьезные коррективы в традицион- ные представления о национальной безопасности страны, пребы- вающей в состоянии экономической депрессии.

С другой стороны, неустойчивость модели по параметрам от- крывает и возможности более быстрого роста совокупного общест- венного продукта в случае удачного выбора направлений инвестиро- вания. Данная модель может служить целям оптимизации инвести- ционного процесса, указывая в заданной технико-экономической системе, структурированной по отраслям хозяйства и технологиче- ским укладам, оптимальные сферы приложения капитала, т.е. группы отраслей, инвестиции в которые способны наиболее значительно и быстро стимулировать прирост совокупного общественного продук- та в данных технико-экономических обстоятельствах, с учетом до- минирующего в каждой отрасли технологического уклада и межот- раслевых экономических связей.

Подчеркнем, что в данной модели оптимальность понимается

99

как функция макроэкономическая, и оптимизация касается лишь достижения максимально быстрого и значительного прироста вало- вого продукта, то есть изначально сориентирована на экономические интересы общества и, разумеется, не гарантирует автоматического получения максимальной (и даже средней) нормы прибыли индиви- дуальным капиталам, инвестированным в отмеченные этой моделью ключевые отрасли хозяйства. Обеспечение приложения частных ин- вестиций в общественных интересах на структурно сбалансирован- ной основе, указываемой данной моделью, является задачей органов государственной власти.

Оптимизация объема инвестиций

Описанная выше итерационная модель применима в целях оп-

тимизации распределения ограниченного и заранее заданного объема инвестиций. Данная модель не содержит информации об оптималь- ном совокупном объеме инвестиций, которые следует осуществить на том или ином шаге рассматриваемого итерационного процесса.

Предложим модель, отвечающую на этот вопрос. Рассматривая инвестиции как внешнюю силу, стимулирующую прирост совокупно- го общественного продукта в инерционной хозяйственной системе, получим уравнение динамики валового продукта W:

В этом уравнении внешняя сила f выражает совокупный объем инве- стиций без разбивки по отраслям, взятый со знаком плюс, если инве- стиции вкладываются в экономику, и со знаком минус, если они изымаются (если имеет место отток капитала). Мерой инерции хо- зяйственной системы служит параметр m>0, а мерой ее сопротивле- ния переменам, происходящим вследствие действия силы f, — пара- метр b>0. Эти два параметра определяются статистическими мето-

дами по данным предшествующей динамики данной экономической системы; они зависят от множества показателей: от степени физиче- ского и морального износа капитала, от коэффициента выбытия, от восприимчивости экономической системы к инновациям, от средней скорости оборота капитала, от уровня нормы ссудного процента и других величин.

Параметр c>0 есть не что иное как норма накопления, имею- щая место на данном шаге итераций. Смысл последнего члена левой части в уравнении (26) заключается в том, что хронически депрес- сивное состояние экономики, для которого

100