Информационное равновесие точечные структуры информированности - Новиков Д.А

- 11 -

I12σ = I2σ, I13σ = I3σ, I21σ = I1σ, I23σ = I3σ, I3σ1 = I31, I3σ2 = I32, I3σ3 = I3.

Аналогичные соотношения выполняются для равновесных действий xσ*. Левые части этих тождеств показывают, что любая структура Iσ при |σ|>2 тождественна некоторой структуре Iτ, |τ|<|σ|. Поэтому глубина структуры I не превосходит двух и, следовательно, она имеет конечную сложность. Правые части показывают, что базис образуют следующие структуры: {I1, I2, I3, I31, I32} (нетрудно убедиться, что они попарно различны).

Таким образом, сложность данной структуры информированности равна пяти, а глубина равна двум. Для нахождения информационного равновесия надо решить следующую систему уравнений (см. выражение (1)):

Таким образом, действия реальных агентов в ситуации информационного равновесия будут следующими: x1* = x2* = 9/20, x3* = 1/5.

П р и м е р 3 . Пусть все трое агентов – оптимисты, первый и второй вза- имно информированы, второй и третий также взаимно информированы. По мнению первого агента, третий считает всех троих одинаково информирован- ными пессимистами; также и первый агент, по мнению третьего, считает всех троих одинаково информированными пессимистами.

Имеем: I1 >< I2, I2 >< I3, I1 ~13 I2 ~13 I3, I1 ~31 I2 ~31 I3.

Эти условия можно записать в виде следующих тождеств, имеющих место для любого σ Σ (воспользуемся соответствующими определениями и ут- верждениями 1, 2, 5):

I12σ = I2σ, I13σ1 = I131, I13σ2 = I132, I13σ3 = I13, I21σ = I1σ,

I23σ = I3σ, I31σ1 = I31, I31σ2 = I312, I31σ3 = I313, I32σ=I2σ.

Аналогичные соотношения выполняются для равновесных действий xσ*. Левые части этих тождеств показывают, что любая структура Iσ при |σ|>3

тождественна некоторой структуре Iτ, |τ|<|σ|. Поэтому глубина структуры I не превосходит трех и, следовательно, она имеет конечную сложность. Правые части тождеств показывают, что в базис могут входить лишь следующие структуры информированности: I1, I2, I3, I31, I13, I131, I132, I312, I313.

Далее, для любого σ Σ справедливы соотношения θ131σ = θ31σ = θ313σ =

= θ13σ = θ123σ = θ213σ = 1, из которых вытекают тождества I131 = I31, I313 = I13,

I123 = I213.

- 12 -

Таким образом, базис образуют следующие попарно различные структуры: {I1, I2, I3, I31, I13, I132}. Cложность данной структуры информированности равна шести, а глубина равна трем. Для нахождения информационного равновесия надо решить следующую систему уравнений (см. выражение (1)):

Таким образом, действия реальных агентов в ситуации информационного равновесия будут следующими: x1* = x3* = 17/35, x2* = 12/35.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены подходы к анализу рефлексивных игр – игр, участники кото-

рых принимают решение на основе иерархии представлений о существенных параметрах, представлений о представлениях и т. д. Исследованы свойства точечной структуры информированности, в том числе такие, как конечная глубина и конечная сложность, позволяющие предложить в качестве концеп- ции решения рефлексивной игры информационное равновесие, являющееся обобщением равновесия Нэша в некооперативных играх. Перспективным на- правлениями дальнейших исследований представляется следующие: рассмот- рение вероятностных структур информированности; анализ возможного влия- ния на представления агентов новой информации (в том числе результатов игры); моделирование информационного управления – целенаправленного воздействия на структуру информированности игры.

θτiiσ = θτiσ Û " i Î N " τ, σ, κ Î S θτiiσκ =θτiσκ Û " i Î N " τ, σ Î S Iτiiσ = Iτiσ .

- 13 -

Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я 3 . В силу утверждения 2 спра- ведливо тождество Iτiiσ = Iτiσ, что по определению τ-субъективно тождествен-

Iτλi = Iτμi Û {в силу утверждения 1} Û i Î N κ Î Σ Iτλiκ = Iτμiκ Û {полагая

σ = i κ} Û σ Î Σ+ Iτλσ = Iτμσ Û σ Î Σ+ Iλ >σ<τ Iμ.

Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я 5 . Докажем для трех условий ут- верждения импликации 1 Þ 2, 2 Þ 3, 3 Þ 1.

1Þ2. Для любых i, j, m Î N имеем Ii >τ Im, Ij >τ Im , что означает выполнение

тождеств Iτim = Iτm, Iτjm = Iτm. Отсюда Iτim = Iτjm, что доказывает условие 2 (с уче- том утверждения 4).

2Þ3. Для пустой последовательности σ условие 3 тривиально, поэтому возьмем произвольную непустую последовательность σ Î Σ+. Тогда σ = i1 … il (ik Î N, k = 1, …, l), при этом для любого i Î N справедливы следующие соот- ношения:

Iτi = {в силу утверждения 2} = Iτii = {поскольку Ii ~τ Iil } = Iτili = {в силу ут- верждения 2} = Iτilili = {поскольку Iil ~τ Iil−1 и в силу утверждения 4} = Iτil−1ili = …

= Iτi1...ili = Iτσi .

3Þ1. Для любых i, j Î N имеем Iτij = Iτj, Iτji = Iτi, что означает Ii ><τ Ij.

ционное равновесие. Тогда из конечности структуры информированности и условия 2 сразу следует, что попарно различных чисел xτ* не более ν.

Рассмотрим две любые тождественные структуры информированности: Iλ = Iμ. Соответственно, имеем θλ = θμ и xλ* =xμ*. Далее, для любого i Î N спра- ведливо Iλi = Iμi, следовательно, xλi* = xμi*. Поэтому два уравнения системы (1), у которых в левой части стоят действия xλ* и xμ* , тождественно совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я 7 . Непрерывность по всем аргу- ментам функции fi и ее строгая вогнутость по переменной xi означает непре- рывность по всем аргументам функций ϕτ l (где τl Î X, ω(τl) = i), определяемых

соотношениями (3), и строгую вогнутость каждой из них по xτl . Поэтому ут- верждение сразу вытекает из теоремы фон-Неймана–Нэша.

- 14 -

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic theory. N.Y.: Oxford Univ. Press, 1995.

2.Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении организационными сис- темами. М.: Синтег, 2002.

3.Myerson R.B. Game theory: analysis of conflict. London: Harvard Univ. Press, 1991.

4.Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. Рефлексивные игры. М.: Синтег, 2003.

5.Aumann R.J., Heifetz A. Incomplete information. Handbook of Game Theory.

V.III. Chapter 43. Amsterdam, Elseiver (forthcoming).

6.Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

7.Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. М.: Изд-во МГУ, 1984.

8.Howard N. Theory of meta-games / General systems. 1966. № 11. P. 187 – 200.

9.Aumann R.J., Mashler M. The bargaining set for cooperative games. Eds.

M.Dresher, L.S. Shapley, and A.W. Tucker. Advances in Game Theory. Princeton: Princeton University Press, 1964. P. 443 – 447.

10.Mertens J.-F., Zamir S. Formulation of Bayesian analysis for games with incomplete information // Int. J. Game Theory. 1985. № 14. P. 1– 29.

11.Harsanyi J. Games with incomplete information played by "Bayesian" players // Management Sci. Part I: 1967. V. 14. № 3. P. 159 – 182. Part II: 1968. V. 14. № 5. P. 320 – 334. Part III: 1968. V. 14. № 7. P. 486 – 502.

12.Sakovics J. Games of incomplete information without common knowledge priors // Theory and decision. 2001. № 50. P. 347 – 366.

13.Чхартишвили А.Г. Информационное равновесие / Управление большими системами. Сб. тр. молодых ученых. Выпуск 3. Общая редакция – Д.А. Новиков. М.: ИПУ РАН, 2003. С. 94 – 109.