
Краткие сведения по стохастической финансовой математике - Барабанов А.Е
.pdf31
для общей задачи такая мера существует и единственна. При помощи этой меры, как будет показано в следующих разделах, явно вычисляется цена платежного обязательства, а также стратегия портфеля ценных бумаг, образующего совершенный хедж.
2.6 Понятие арбитража
Под арбитражем в финансовой математике понимается получение положительной прибыли без риска и без начального капитала. Чаще говорят о рынке, на которомотсутствуют арбитражные возможности , называя такой рынок честным , рационально устроенным или эффективным .
Определение 6. Говорят, что самофинансируемый портфель ¼ реализует арбит-
ражную возможность в момент N, если у него начальный капитал нулевой, X0¼ = 0, а в момент N капитал обладает свойствами
XN¼ ¸ 0 ï.í., EXN¼ > 0:
Определение 7. Рынок называется безарбитражным, если на нем отсутствуют арбитражные возможности, т.е. для любого самофинансируемого портфеля ¼ åñëè
X0¼ = 0 è XN¼ ¸ 0 ï.í., òî XN¼ = 0 ï.í.
Отсутствие арбитражных возможностей на рынке означает, что любые прибыли должны быть связаны с определенными рисками иметь убытки. Если предположить, что участники рынка достаточно информированы, то естественно считать, что арбитражные возможности, если такие могут появиться, сразу реализуются и исчезают с рынка. С другой стороны, реализация арбитражной возможности создает прибыль из ничего, и поэтому не считается рациональной или честной .
Следующая важнейшая теорема стохастической финансовой математики устанавливает связь между понятиями мартингальной меры и безарбитражности (B; S)
рынка.
Теорема 3. Для того, чтобы (B; S) рынок был безарбитражным, необходимо и
достаточно, чтобы существовала мера e
P
нейтральной), которая эквивалентна естественной вероятностной мере P и обладает
свойствами |
|
. |
|
|
Sn |
¯ |
|
|
|
|
Sn¡1 |
|
|
|
|||
ï.í. ïðè âñåõ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n = 1; 2; : : : N |
|
|
e |
|
¯ |
|
|
¶ = Bn¡1 |
|
|
|
|||||
|
|
EP µBn |
|
¯ Fn¡1 |
|
|
|
||||||||||
Доказательство. Пусть мартингальная¯ |
ìåðà P существует и ¼ = (¯; °) некото- |
||||||||||||||||
рый самофинансируемый портфель ценных |
|
e |
|
|
|
X0 |
= 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бумаг с начальным капиталом |
¼ |
|
. |
||||
По определению самофинансируемого портфеля |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
XN¼ = X0¼ + n=1 °n |
µBn ¶: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
Sn |
|
|
|
|||
Условие мартингальности меры P можно также записать в виде |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
E |
|
e |
|
Sn |
|
n |
1 |
= 0 |
|
|
|
||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
½ µBn ¶ ¯ F |
¡ |
¾ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
32
ï.í. ïðè âñåõ n = 1; 2; : : : N. Поскольку случайная величина °n измерима относитель- íî Fn¡1, òî
|
|
|
|
Sn |
¯ Fn¡1 |
|
|
|
|
Sn |
¶ ¯ Fn¡1¾ |
|
||
EP ½°n |
µ |
|
¶ |
¾ = °nEP |
½ µ |
|
= 0 |
|||||||
Bn |
Bn |
|||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
¯ |
|
e |
|
|
|
¯ |
|
|
ï.í. ïðè âñåõ n = 1; 2; : : : N. Следовательно,¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
Sn |
¶ ¯ Fn¡1¾ = 0: |
|
|||
|
|
EP XN¼ = EP n=1 EP ½°n |
|
|
||||||||||
|
|
µBn |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
¯ |
|
|
||
Åñëè æå X¼ |
0 |
ï.í.e |
è ìåðà e |
e |
|
|
¯ |
|
|
|||||
|
|
|
|
P эквивалентна мере¯ P , то из последнего равенства |
||||||||||
N ¸ |
¼ |
|
Последнее утверждение совпадает с определением безарбит- |
|||||||||||
следует, что EXN = 0. |
||||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
ражности рынка.
Таким образом, из существования хотя бы одной мартингальной меры следует, что на рынке нет арбитражных возможностей. Обратное утверждение доказывается намного сложнее и поэтому в данном курсе пропускается.
В простейшей одношаговой модели рынка с одним видом акции, для которого случайная процентная ставка ½ принимает значения на отрезке [a; b] ï.í. (è ýòîò
отрезок не может быть уменьшен), условие безарбитражности имеет вид r 2 (a; b). Действительно, если a < r < b, то мартингальные меры, эквивалентные исходной мере P , были описаны в доказательстве теоремы 1.
Åñëè æå r < a, то безрисковую прибыль можно получить, взяв деньги из банка и вложив их в акции. Если r > b то, наоборот, для получения прибыли нужно продать
все акции и положить деньги в банк. При r = a èëè r = b è a < b те же действия
дадут положительный доход с ненулевой вероятностью, что означает реализацию арбитражной возможности.
2.7 Расчет цен на полных рынках
По определению, на полных рынках у любого ограниченного платежного обязательства совпадают нижняя и верхняя цены. Это общее значение цены является справедливым по отношению к покупателю и продавцу, так как не дает ни одному из них возможности получить безрисковый доход. Для расчета этой цены, а также для определения портфеля ценных бумаг, который покрывает платежное обязательство, используется следующая вторая важнейшая теорема стохастической финансовой математики.
Теорема 4. Для того, чтобы безарбитражный финансовый (B; S) рынок был пол-
ным, необходимо и достаточно, чтобы на нем существовала только одна мартингальная мера.
(Без доказательства.)
Далее будем рассматривать только полные рынки. Единственную мартингальную |
|||||||
меру на них будем обозначать P , а математическое ожидание по этой мере (в том |
|||||||
числе условное) |
E. Ïî |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
определению мартингальной меры |
||||
|
|
½ µBn |
¶ ¯ Fn¡1¾ |
|
|
||
|
e |
|
|
|
¯ |
|
|
|
eE |
|
|
Sn |
¯ |
= 0; |
n = 1; 2; : : : N: |
|
|
|
|
|
|
|

33
Пусть fN некоторое ограниченное FN измеримое платежное обязательство. По
определению полного рынка для него существует совершенный (x; fN ) хедж, т.е. такой самофинансируемый портфель ¼ = (¯; °), ÷òî X0¼ = x è XN¼ = fN
начальный капитал x совпадает с верхней и нижней ценой, т.е.
x= C¤(fN ) = C¤(fN ) = C(fN );
èэту величину мы будем считать справедливой ценой платежного обязательства fN . Поставим задачу о нахождении C(fN ) и совершенного хеджа ¼.
Теорема 5. (основные формулы для определения совершенного хеджа и его капитала). Пусть fN некоторое ограниченное платежное обязательство на полном
e
(B; S) рынке и оно FN измеримо. Пусть E обозначает математическое ожидание по мартингальной мере и ¼ = (¯; °) совершенный хедж, воспроизводящий fN . Тогда
1. Справедливая цена этого обязательства равна
e fN
C(fN ) = B0 E BN
( основная формула для цены совершенного хеджирования Европейского типа на полных ранках ).
2. Капитал данного совершенного хеджа ¼ в промежуточные моменты может быть вычислен по формуле
|
|
|
|
e |
|
fN |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
||
|
Xk¼ = Bk E |
½ |
BN |
|
¯ Fk¾; |
|
k = 1; 2; : : : ; N ¡ 1: |
|||||||
3. Объемы акций °k в портфеле ¼ определяются¯ |
из уравнения |
|||||||||||||
|
X¼ |
|
X¼ |
= °k µ |
S |
k |
|
S |
k¡1 |
¶; |
|
|||
|
k |
¡ |
k¡1 |
|
¡ |
|
k = 1; 2; : : : ; N: |
|||||||
|
Bk |
Bk¡1 |
Bk |
Bk¡1 |
4. Банковские вклады ¯k в портфеле ¼ вычисляются по формуле
X¼ ¡ °kSk ¯k = k Bk :
Доказательство. Капитал самофинансируемого портфеля ¼ вычисляется по фор-
ìóëå |
BN |
= B0 |
+ n=1 °n |
µBn ¶; |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
XN¼ |
|
x |
X |
|
Sn |
|
|
|
|
|
ãäå x = C(fN ). Математическое ожидание по мартингальной мере от каждого слагаемого в правой части равно нулю, а XN¼ = fN , поэтому
E |
fN |
= |
C(fN ) |
: |
|
|
|||
e B0 |
B0 |
Отсюда следует утверждение 1 теоремы.

34
|
Для доказательства утверждений 2 и 3 вычислим условные математические ожи- |
||||||||||||
дания по мартингальной мере, приняв во внимание свойство мартингальности меры |
|||||||||||||
P : |
|
½BN |
¯ F ¾ |
B0 |
n=1 |
µBn ¶ |
|
Bk |
|||||
e |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
fN |
¯ |
k = X0¼ |
X |
|
Sn |
= Xk¼ |
|||||
|
|
+ °n |
|
||||||||||
|
e |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðè k = 1; 2; : : : ; N. Второе равенство есть формула для нормированного капита-
ла самофинансируемого портфеля. Это доказывает утверждение 2. Утверждение 3 получается простым вычитанием соседних по k равенств из утверждения 2.
Наконец, утверждение 4 есть следствия определения величины капитала портфеля ценных бумаг в момент k:
Xk¼ = ¯kBk + °kSk
ïðè k = 1; 2; : : : ; N.
2.8 Формулы Башелье и Блэка Шоулса
Первая работа по изучению вероятностного характера динамики цен акций была |
||
написана Л. Башелье в 1900 г. Его модель в современных терминах описывается |
||
уравнением |
|
0 · t · T: |
|
St = S0 + ¹t + ¾Wt; |
ãäå St значение рыночной цены данного актива, ¹ постоянный коэффициент сноса, Wt стандартный винеровский процесс, т.е. процесс с начальным значением W0 = 0 и гауссовским распределением приращений, которые к тому же независимы
на непересекающихся промежутках времени. |
|
|
|
|
|
|||||||
Это диффузионная модель рынка, которая оказалась безарбитражной и полной. |
||||||||||||
Единственная мартингальная мера в этой модели определяется равенством |
||||||||||||
|
|
dP |
|
|
Z |
|
dP |
|
; |
|
|
|
ãäå PT = P |
¯FT |
e |
= |
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
è |
¹ |
|
|
|
|
1 |
¹ |
|
2 |
||
|
¯ |
ZT = exp µ¡ |
|
WT |
¡ |
|
³ |
|
´ |
T ¶: |
||
|
¾ |
2 |
¾ |
По теореме 5 находим явное выражение для справедливой цены опциона. |
|
||||||||||||||||
Теорема 6 |
( формула Башелье ). В модели Башелье рациональная стоимость стан- |
||||||||||||||||
дартного опциона колл Европейского типа с функцией платежа fT |
= (ST |
¡ K)+ |
|||||||||||||||
определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
S0 |
K |
|
|
S0 |
K |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
CT = (S0 ¡ K)Φ µ |
|
¾p¡ |
|
|
¶ + ¾pT Á µ |
¾p¡ |
|
¶; |
|
|
||||||
|
|
T |
T |
|
|
||||||||||||
ãäå |
Á(x) = p2¼ e¡ 2 |
; |
|
|
Φ(x) = Z¡1 Á(y) dy: |
|
|
||||||||||
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Без доказательства.)

35
В частности, при S0 = K рациональная стоимость опциона колл равна
CT = ¾r |
|
|
|
2¼ : |
|||
|
|
T |
Именно эту формулу вывел Л. Башелье, не пользуясь современными понятиями теории вероятностей.
Одним из недостатков модели Л. Башелье является возможность отрицательных значений для цен St, что противоречит естественным представлениям. В ходе даль-
нейших исследований, начиная со знаменитого доклада М. Кендалла, выяснилось, что независимыми следует считать не сами приращения цен, а приращения их логарифмов. Соответствующая модель записывается в дифференциальной форме:
dSt = St(¹ dt + ¾ dWt); t ¸ 0:
Она была предложена П. Самуэльсоном в 1965 г. и подробно изучена в работе Р. Мертона в 1973 г. Наконец, в знаменитой статье Блэка и Шоулса [Black F., Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities . Journal of Political Economy, 1973, v. 81, •3, p. 637 659] были выведены окончательные формулы для расчета справедливой цены опционов, которые служат важнейшим ориентиром на современных финансовых рынках. В 1997 г. Р. Мертон, Ф. Блэк и М. Шоулс были удостоены Нобелевской премии по экономике за эти достижения.
Предположим, что банковская процентная ставка постоянна и равна r, òàê ÷òî
изменение банковского счета определяется дифференциальным уравнением dBt =
rBt dt. Это уравнение вместе с дифференциальным уравнением относительно St íà- зывают моделью Мертона Блэка Шоулса.
Теорема 7 ( формула Блэка Шоулса ). В модели Мертона Блэка Шоулса раци- |
|||||||||||||||||||
ональная цена стандартного опциона колл Европейского типа с функцией платежа |
|||||||||||||||||||
fT = (ST ¡ K)+ определяется формулой |
Ke¡rT Φ |
ln SK0 |
+ T ³r ¡ ¾22 ´ |
|
: |
||||||||||||||
CT = S0Φ |
ln SK0 |
+ T ³r + ¾22 ´ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
p |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
p |
|
|
1 |
|
|
|
@ |
|
¾ T |
|
|
A ¡ |
|
@ |
|
|
¾ T |
A |
|
||||||
(Без доказательства.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В частности, при S0 = K è r = 0 получается упрощенная формула |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
CT = S0 "Φ |
þ 2T ! |
¡ Φ Ã¡ |
¾ 2T !#: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|