Краткие сведения по стохастической финансовой математике - Барабанов А.Е

21

Определение 1. Портфелем ценных бумаг называется пара последовательностей ¼ = (¯; °) случайных величин ¯ = (¯n)n¸0 è ° = (°n1; °n2; : : : ; °nd; )n¸0, которые интер- претируются следующим образом: ¯n есть банковский вклад в момент n, à °ni åñòü объем купленных акций вида Ai в момент n. При этом случайные величины ¯n è °ni

ïðè âñåõ 1 · i · d являются Fn¡1 измеримыми.

Капиталом портфеля ценных бумаг ¼ = (¯; °) называется последовательность

Банковский вклад ¯n может быть отрицательным, что означает взятие в долг, а объем акций °ni также может принимать отрицательные значения, что соответствуеткоротким продажам акций вида Ai.

Банковский вклад можно также рассматривать как вложение в некоторый дополнительный актив, однако этот актив имеет важную особенность: его цена в момент n известна уже в момент n¡1, что для остальных активов обычно недостижимо.

Для упрощения обозначений скалярное произведение векторов °n è Sn будем обо- значать так же, как и произведение чисел, а именно,

Таким образом, капитал портфеля ценных бумаг ¼ = (¯; °) записывается в виде

Xn¼ = ¯nBn + °nSn.

Обычно перед инвестором стоит задача расчета портфеля ценных бумаг так, чтобы его капитал укладывался в ряд ограничений, например, был не ниже заданной величины в определенные моменты времени или покрывал некоторое платежное обязательство. Портфель является последовательностью случайных величин ¯n è °n, è â

начальный момент времени n = 0 их значения еще не определены. Но инвестор знает,

что к моменту n¡1, когда потребуется фиксировать ¯n è °n, у него уже будет до-

статочно информации, чтобы выбрать их однозначно. Этой информацией являются рыночные цены Sn¡1 и банковские параметры Bn¡1 è rn.

Таким образом, инвестор выбирает не фиксированные объемы покупок и продаж на финансовом рынке, а свою стратегию поведения. Он указывает однозначно в момент времени n = 0, как он будет реагировать на все возможные изменения

рыночных цен.

Применив равенство Δ(anbn) = an bn + bn¡1 an, выразим приращение капитала

Xn¼ = Xn¼ ¡ Xn¼¡1 = [¯n Bn + °n Sn] + [bn¡1 ¯n + Sn¡1 °n]:

22

Выражение во второй квадратной скобке является Fn¡1 измеримым, оно равно из- n ¡ 1 за счет выбранного изменения самого

портфеля, т.е. за счет приращений ¯n è °n при текущих ценах Bn¡1 è Sn¡1. Äðó- гими словами, это выражение есть объем вложенных средств в момент n¡1, êîòî-

рый может быть положительным (вливание капитала) или отрицательным (изъятие средств из оборота).

Наоборот, выражение в первой квадратной скобке есть изменение капитала портфеля за рассматриваемый промежуток времени между тактами n¡1 è n çà ñ÷åò

изменения рыночных цен и за счет банковских процентов.

Определение 2. Портфель ценных бумаг ¼ называется самофинансируемым, если его капитал можно представить в виде

Очевидно, что условие самофинансирования можно записать также в виде

Bn¡1 ¯n + Sn¡1 °n = 0; n ¸ 1;

т.е. в каждый момент времени n¡1 при изменении портфеля не производится вли-

Множество всех самофинансируемых портфелей будем обозначать SF (от self-nancing самофинансирование).

Рассмотрим более подробную модель изменения капитала портфеля ценных бумаг. В ней присутствуют следующие составляющие: дивиденды, потребление, инвестирование и операционные издержки. Введем соответствующие обозначения.

1.Дивиденды по акциям. По каждому виду акции Ai выплачиваются дивиден-

ды, суммарные выплаты по ним к моменту n обозначим Dni . Очевидно, что приращения ±ni = Dni ¸ 0 è ÷òî D0i = 0. Размеры выплат определяются по окончанииi периода времени, за который начисляются дивиденды, поэтому величины Dn являются Fn измеримыми. Совокупность всех дивидендов обо-

значим Dn = (Dn1; Dn2; : : : ; Dnd).

4.Операционные издержки. Пусть за покупку каждой акции нужно заплатить долю ¸ от ее текущей стоимости, а за продажу акции долю ¹ ее стоимости. Конечно, ¸; ¹ ¸ 0.

Условие самофинансируемости можно записать следующим образом:

Bn¡1 ¯n + Sn¡1 °n = ¡[ΔCn ¡ In + ±n¡1°n¡1 + ¹Sn¡1(Δ°n)+ + ¸Sn¡1(Δ°n)¡]:

Приращение капитала самофинансируемого портфеля за период от n¡1 äî n равно

Иногда к формированию портфеля предъявляются дополнительные требования, например,

²¯n ¸ 0, банк не дает денег в долг;

²°n ¸ 0, запрещены короткие продажи ;

²°nSn=Xn¼ · ®, ограничения на процент рискового капитала ;

²PfXN¼ 2 Ag ¸ 1 ¡ ", в момент N для покрытия платежных обязательств

требуется иметь капитал в размере, указанном в множестве A, что требуется обеспечить с вероятностью не меньше 1 ¡ ".

2.3 Хеджирование. Верхние и нижние цены

Предположим, что целью инвестора является покрытие некоторого платежного обязательства в момент N. Его стратегия, т.е. портфель ценных бумаг, создается в мо-

ìåíò n = 0 и состоит в том, как в моменты n = 1; 2; : : : ; N ¡ 1 менять объемы

банковских вкладов и пакетов акций в зависимости от реализовавшейся рыночной цены.

Платежное обязательство может также зависеть от рыночной цены в момент N,

например, если это проданный опцион. Таким образом, как портфель ценных бумаг, так и платежное обязательство моделируются случайными величинами, зависящими от текущих рыночных цен. В этом смысле платежное обязательство выражается случайной величиной fN , являющейся FN измеримой. Начальный капитал портфеля

обозначим x, это неотрицательная величина.

Определение 3. Верхним (x; fN ) хеджем называется портфель ценных бумаг ¼ = (¯; °), у которого капитал в момент n = 0 равен x, а в момент n = N удовлетворяет неравенству XN¼ ¸ fN почти наверное.

24

Нижним (x; fN ) хеджем называется портфель ценных бумаг ¼ = (¯; °), у которого капитал в момент n = 0 равен x, а в момент n = N удовлетворяет неравенству

XN¼ · fN почти наверное.

В случае выполнения обоих этих условий, т.е. если X0¼ = x è XN¼ = fN , òî (x; fN ) хедж называется совершенным.

Хедж (от английского hedge забор) является инструментом защиты инвестора от колебания цен в ситуации, когда необходимо обеспечить покрытие некоторого платежного обязательства. Само обязательство меняется вместе с колебаниями цен, и задача инвестора состоит разработке такой стратегии покупки продажи активов, чтобы капитал портфеля колебался согласованно с обязательством в зависимости от рыночных цен. Если платежное обязательство возникло в результате некоторой финансовой операции (сделки), то разработка хеджа можно рассматривать как страхование этого обязательства.

Пусть fN è x ¸ 0 фиксированы. Введем обозначение для множества всех самофинансируемых верхних (x; fN ) хеджей

H¤(x; fN ) = f¼ 2 SF : X0¼ = x; XN¼ ¸ fN ï.í. g;

а также для множества всех самофинансируемых нижних (x; fN ) хеджей

H¤(x; fN ) = f¼ 2 SF : X0¼ = x; XN¼ · fN ï.í. g:

Иногда условие самофинансируемости не включают в определения этих множеств, однако оно необходимо для расчета справедливых цен платежных обязательств, и мы ограничимся только этими целями.

Не для всякого начального капитала x существует хотя бы один верхний хедж

или хотя бы один нижний хедж. Отсутствие такого хеджа означает, что соответствующее множество, H¤ èëè H¤, пусто. Ясно, что если для начального капитала

x существует верхний хедж, то он существует и для любого большего начального

значения x1 > x. Для нижних хеджей наоборот: если множество H¤(x; fN ) непусто, то непусто множество H¤(x2; fN ) с любым x2 < x.

Определение 4. Верхней ценой платежного обязательства fN называется число

C¤(fN ) = inffx ¸ 0 : H¤(x; fN ) =6 ;g:

Нижней ценой платежного обязательства fN называется число

C¤(fN ) = supfx ¸ 0 : H¤(x; fN ) 6= ;g:

При продаже платежного обязательства (например, опциона) его верхняя и нижняя цены оказываются границами, в рамках которых возможен торг между покупателем и продавцом о цене покупки. Следующие рассуждения показывают, что вне промежутка цен [C¤; C¤] одна из сторон может получить чистую безрисковую при-

быль, что, конечно, не устраивает другую сторону. ¤ Пусть продавец платежного обязательства fN продал его по цене x > C (fN ).

Тогда он может распорядиться полученными средствами следующим образом. Выберем y так, чтобы C¤(fN ) < y < x. По определению величины C¤(fN ) существует

25

такой портфель ценных бумаг ¼¤, ÷òî X0¼¤ = y è XN¼¤ ¸ fN . Купив такой портфель ïî öåíå y, продавец к моменту N должен будет отдать fN и получить XN¼¤ ¸ fN , ò.å.

не проиграть. А в начальный момент он оставил у себя x ¡ y > 0, что составляет его

безрисковую прибыль ( free lunch ).

Сложнее обстоит дело с нижней ценой платежного обязательства. Пусть покупатель купил обязательство fN ïî öåíå x < C¤(fN ). Выберем y так, чтобы x < y <

C¤(fN ). Тогда существует такой портфель ¼¤, ÷òî X0¼¤ = y è XN¼¤ · fN .  ýòîé ñè- туации покупателю следует поискать на рынке инвестора, который готов вложив в начальный момент n=0 капитал y получить в момент n=N капитал XN¼¤. Ïðè ëèê- видности рынка, наличия на нем участников с разнообразными интересами, ожиданиями и сроками оборота такой инвестор вполне может найтись. Этот инвестор платит покупателю y (передает в управление эти средства) за обязательство возвра-

тить в момент N капитал XN¼¤. Чистый безрисковый выигрыш покупателя составит не менее y ¡ x > 0.

Таким образом, область цен [0; C¤(fN )) за платежное обязательство fN äàåò ïî-

купателю возможность получения безрискового дохода, против чего может справедливо возражать продавец. Область цен (C¤(fN ); 1) дает продавцу возможность по-

лучения безрискового дохода, против чего может справедливо возражать покупатель. Следовательно, приемлемая цена за платежное обязательство лежит в области [C¤(fN ); C¤(fN )], устанавливающей рамки переговоров об окончательной цене за пла-

тежное обязательство.

Особо интересен случай, когда C¤(fN ) = C¤(fN ), который возникает, если су-

ществует хотя бы один совершенный хедж. Тогда дальнейшие переговоры теряют смысл, и стороны должны принять цену x = C¤(fN ) = C¤(fN ) за платежное обя-

зательство fN как единственно справедливую. Такое обязательство fN называется

воспроизводимым.

Определение 5. Рынок ценных бумаг называется полным, если на нем всякое ограниченное FN измеримое платежное обязательство является воспроизводимым.

Полнота рынка выглядит весьма редким явлением, однако имеется ряд признанных математических моделей рынка, которые обладают свойством полноты. В этих моделях цена любого (ограниченного) платежного поручения однозначно вычисляется. Поэтому модели полных рынков активно применяются для теоретических рас- четов цен платежных обязательств.

2.4 Одношаговая модель

В этом разделе верхняя и нижняя цены платежного обязательства вычислены в простейшем примере. Эти числа имеют наглядную интерпретацию как свойства графика функции, определяющей доход от этой ценной бумаги. Вводится и поясняется понятие мартингальных мер, которые играют ключевую роль в исследовании свойств безарбитражности и полноты рынков.

В данной модели (B; S) рынка присутствует банковский счет и всего один вид акций, кроме того, выбирается N = 1. В начальный момент заданы константы B0 è

26

S0. Они преобразуются за один такт в величины

ãäå r ¸ 0 известная банковская процентная ставка, а ½ > ¡1 случайная процентная ставка акции. Вся случайность заключена в величине ½ или, что то же самое, в

случайной величине S1.

Платежное поручение f1, измеримое относительно S1, можно представить как функцию от этой случайной величины, т.е. f1 = f(S1), ãäå f некоторая фиксиро-

Это границы промежутка приемлемых цен при продаже платежного обязательства. Далее будет показано, что эти величины тесно связаны со свойствами графика функции f и могут быть рассчитаны аналитически.

Предположим, что случайная величина ½ принимает значения в промежутке [a; b] почти наверное, причем этот промежуток не может быть уменьшен. Распределение ½ íà [a; b] обозначим P . Наряду с распределением P рассмотрим другие распределения

Множество P непусто, если r 2 [a; b]. Множество P состоит ровно из одного элемента, если к тому же распределение P сосредоточено всего в двух точках a

è b. Далее будет доказано, что существование хотя бы одной мартингальной меры

равносильно отсутствию арбитражных возможностей на рынке, а единственность мартингальной меры равносильна полноте рынка.

Пусть ¼ = (¯; °) 2 H¤(x; f1) некоторый верхний хедж. Тогда по определению,

28

Кроме того, величина C¤(f1) достигается на портфеле ценных бумаг ¼¤ = (¯¤; °¤)

т.е. этот портфель является верхним хеджем, X1¼¤ ¸ f1 п.н., с начальным капи- талом X0¼¤ = C¤(f1).

Доказательство. Пусть c¤ = (p¤fa +q¤fb)=(1+r)) правая часть формулы в утверждении теоремы 1. Достаточно доказать, что x¤ ¸ c¤ è C¤(f1) · c¤.

Докажем, что x¤ ¸ c¤. По определению x¤ достаточно предъявить такую после-

e 1

довательность мартингальных мер (Pn)n=1, ÷òî

lim E en f(S0(1 + ½)) = c¤(1 + r):

n!1 P

e1

Âкачестве (Pn)n=1 выберем последовательность мартингальных мер, которые схо- дятся по вероятности к распределению P ¤. Такая последовательность существует,

поскольку промежуток [a; b] наименьший, вне которого ½ = 0 почти наверное. По свойствам математических ожиданий от ограниченных величин

÷òî ¯¤+°¤S0 = c¤ è ¯¤(1+r)+°¤S0(1+½) ¸ f(S0(1+½)) почти наверное. Но случайная величина ½ принимает значения на отрезке [a; b] почти наверное, поэтому достаточно доказать, что

¯¤(1 + r) + °¤S0(1 + t) ¸ f(S0(1 + t)) 8 t 2 [a; b]:

Выберем ¯¤ è °¤ так, чтобы линейная функция Á(t) = ¯¤(1+r)+°¤S0(1+t) прохо-

дила через точки Á(a) = fa, Á(b) = fb. Эти два уравнения легко решить относительно ¯¤ è °¤, и при этом получаются формулы из утверждения теоремы.

Функция f(S0(1 + t)) выпуклая на промежутке [a; b] по предположению, поэтому

ее график находится ниже хорды, соединяющей концевые точки (a; fa) è (b; fb). Эта же хорда есть график линейной функции Á. Следовательно, неравенство ¯¤(1 + r) +

°¤S0(1 + t) ¸ f(S0(1 + t)) íà [a; b] доказано и портфель ¼¤ есть верхний хедж для f1. Его начальный капитал равен

откуда C¤(f1) · c¤, что завершает доказательство теоремы.

Для нахождения нижней цены платежного обязательства f1 введем следующие обозначения. Производную выпуклой функции f(S0(1 + x)) ïî x в точке r обозначим

29

¸. Тогда уравнение касательной к графику функции f(S0(1 + x)) в точке (r; f(S0(1 + r))) будет

Ã(x) = ¸(x ¡ r) + fr;

ãäå fr = f(S0(1 + r)).

Теорема 2. Пусть вероятность попадания случайной величины ½ в любую окрестность точки r положительна, а функция f выпукла и непрерывна. Тогда

C¤(f1) = x¤ = 1 f+r r :

Эта величина достигается на нижнем хедже ¼¤ = (¯¤; °¤) ïðè

Доказательство. Пусть c¤ = fr=(1 + r). Докажем, что x¤ · c¤ · C¤(f1). Определим P¤ как распределение, сосредоточенное в одной точке r, ò.å. P¤(frg)=1.

что доказывает неравенство x¤ · c¤.

Для доказательства неравенства c¤ · C¤(f1) определим портфель ¼¤ = (¯¤; °¤),

как указано в утверждении теоремы. По свойствам выпуклой функции ее график находится выше любой касательной. В частности, f(S0(1 + x)) ¸ Ã(x) ïðè âñåõ x.

Отсюда

что означает, что портфель ¼¤ есть нижний хедж. Его начальный капитал равен

X0¼¤ = ¯¤ + °¤S0 = 1 f+r r = c¤;

и поэтому C¤(f1) ¸ c¤, что завершает доказательство теоремы 2.

2.5 Модель Кокса Росса Рубинштейна (CRR модель)

Пусть в предыдущей модели случайная величина ½ может принимать только значе-

íèÿ ½ = a èëè ½ = b (с ненулевой вероятностью) и a < r < b. Докажем, что в этом

случае всякое ограниченное платежное обязательство воспроизводимо, его нижняя цена равна верхней, а рынок является полным.

30

Для этого достаточно предъявить портфель ¼, который одновременно является

верхним и нижним (x; f1) хеджем, т.е. X0¼ = x è X1¼ = f1 п.н. Тогда из определений верхнего и нижнего хеджа следует, что C¤(f1) · x · C¤(f1). В то же время при

условии существования мартингальных мер было доказано, что C¤(f1) · x¤ · x¤ · C¤(f1). Следовательно, все эти величины равны и, в частности, равны начальному

капиталу x портфеля ¼.

Определим ¼ = ¼¤ = (¯¤; °¤) в обозначениях, введенных перед теоремой 1. В

Тем самым основная задача инвестора полностью решена: найдена цена платежного обязательства и определен портфель ценных бумаг, который гарантирует покрытие этого обязательства.

Воспроизводимость платежного обязательства тесно связана со свойствами мартингальных мер в данной задаче. Во первых, из условия a < r < b следует, что

мартингальная мера существует, например, P ¤. Во вторых, такая мера единствен- ная, т.е. нет других мартингальных мер, кроме P ¤. Докажем это.

Мартингальная мера e

P , будучи эквивалентной мере P , сосредоточенной в двух точках a è b, должна быть равна нулю на любом множестве, не содержащем эти

íû ½n могут принимать только два значения: ½n = an èëè ½n = bn ïðè n = 1; : : : ; N, и банковская процентная ставка rn находится между ними: an < rn < bn ï.í. Ïðè ýòîì rn, an Fn¡1. Требуется найти справедливую цену платежного обязательства fN , измеримого относительно FN .

В частном случае, когда an ´ a, bn ´ b è rn ´ r, эта модель была впервые

рассмотрена в статье Кокса, Росса и Рубинштейна [Cox J.C., Ross R.A, Rubinstein M.Option pricing: a simpli ed approach . Journal of Financial Economics, 1979, v. 7, •3, p.229 263] и с тех пор известна как CRR модель.

Под справедливой ценой платежного обязательства fN подразумевается общее

значение верхней и нижней цены, которое совпадает с начальным капиталом совершенного хеджа.

Нетрудно заметить, что данная задача разбивается на N одношаговых подзадач, для каждой из которых существует единственная мартингальная мера. Поэтому и