5.4. Структура ряда динамики. Проверка ряда на наличие тренда

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд— основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней);

2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;

3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа:

1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;

2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина (У,, Уд). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.

2.Фазочасготный критерий знаков первой разности (Валлиса и Мура). Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы — изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

3. Критерий Кокса и Стюарта. Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае, если количество уровней ряда динамики не делится на три, недостающие уровни нужно добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп.

4. Метод серий. По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае — тип В.

Теперь последовательность уровней временного ряда выступает как последовательность типов. Так, временной ряд уровней брачности (см. ниже) имеет после упорядочения по возрастанию на 7-м месте значение 9,9 и на 8-м месте — значение 10,4. Отсюда медиана ряда равна (9,9 + 10,4) : 2 = 10,15. Ряд типов выглядит как

В В В В В В ВААААААА.

100

В образовавшейся последовательности типов определяется число серий. Серией называется любая последовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа. В данном примере число серий (R) равно 2.

Для приведенного в данной главе (см. ниже) ряда объемов продаж акций по месяцам имеем последовательность типов

ААВ В ВАААВ BAB.

Для данного ряда R = 6.

Если во временном ряду общая тенденция к росту или снижению отсутствует, то количество серий является случайной величиной, распределенной приближенно по нормальному закону (для п > 10). Следовательно, если закономерности в изменениях уровней нет, то случайная величина R оказывается в довери­тельном интервале

R - to„ < R < R + top.

Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р. Например:

Р 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997 t 1 1,960 2 2,576 3

Среднее число серий

R= (n+ 1)/2.

Среднее квадратическое отклонение числа серий а„=/(п-1)/4.

Здесь n — число уровней ряда.

Выражение для доверительного интервала приобретает вид

(n + 1 - t /(n - 1)) /2<R<(n+1+t /(n- 1)) / 2 .

Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю. В нашем примере (для Р = 0,954) имеем:

ряд уровней брачности — 3 < R < 12;

ряд объема продаж акций — 3 < R < 10.

Как видно, для ряда динамики уровня брачности показатель числа серий R = 2 выходит за пределы возможного случайного поведения и, следовательно, в изменении уровней ряда имеется общая закономерность, тенденция. Напротив, для ряда объемов продажи акций число серий R = 6 вполне (с Р = 0,954) укладывается в пределах случайного поведения и гипотеза о наличии общей закономерности снижения или возрастания объемов продаж во времени не может быть принята (с вероятностью ошибки 0,046).

101

Непосредственное выделение тренда может быть произ­ведено тремя методами.

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т. д. точек) или четным (2, 4, 6 и т. д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифме­тическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами — расчетом средней арифметической взвешенной. Так, при сглаживании по трем точкам выравненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле

У, = (5У, + 2У, - Уз) / 6 .

Для последней точки расчет симметричен. При сглаживании по пяти точкам имеем:

_У, = (ЗУ, + 2У, + Уз - У<) / 5 , у, = (4У, + ЗУ, + 2У, + Уд) / 10 .

Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках.

Формулы расчета по скользящей средней выглядят, в частности, следующим образом:

у,., ⁺ у, ⁺ Ум

для 3-членной У == ————————————— ;

для 5-членной У =

102

3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения^времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

У, = t(t) + 8, где f(t) — уровень, определяемый тенденцией развития;

Е,— случайное и циклическое отклонение от тенденции. Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

линейная f(t) = Вд + a,t;

параболическая f(t) = Вд + a,t + a^t², экспоненциальные f(t) = exp(a„ + a,t) или f(t) = ехр(ад + a,t + a^t²) .

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если абсо­лютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, — устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т. п.).

103

I

Оценка параметров (а„, а,, а;, ...) осуществляется следующими методами:

1) методом избранных точек,

2) методом наименьших расстояний,

3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов (см. гл. 7), который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

min 1(У, - f(t))².

Для линейной зависимости (f(t) = Вд + a,t) параметр Зу обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а, — сила связи, т. е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а, можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). фактический уровень (F„,^) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

k- 1

ст²

факт

k)

факт

где R — число параметров функции, описывающей тенденцию;

n — число уровней ряда;

£ (У - f(t))²

£(f(t)-y)²

О факт = О у - ° ост ^:

£ (у - у)²

= ^факт + "'с

рф^ сравнивается с F^p при v, = (k - 1), v; = (n - k) степенях свободы и уровне значимости к (обычно а = 0,05). Если F > F , то уравнение регрессии значимо, т. е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

104

В качестве примера рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г.:

Год	Число зареги­стрированных браков, %о	t	у • t	t2	f(t)
1977 1978 1979 1980 1981-1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990	11,2 10,9 10,7 10,6 10,6 10,4 10,4 9,6 9,7 9,8 9,9 9,5 9,4 9,1	- 13 - 11 -9 -7 -5 -3 - 1 1 3 5 7 9 11 13	- 145,6 - 119,9 -96,3 -74,2 -53,2 -31,2 - 10,4 9,6 29,1 49,0 69,3 85,5 103,4 118,3	169 121 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 121 169	11,077 10,931 10,785 10,639 10,493 10,347 10,202 10,056 9,910 9,764 9,618 9,472 9,326 9,180
Итого	141,8	0	-66,4	910	141,800

Выравнивание проведено по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена методом наименьших квадратов.

141,8 -66,4 а„=————=10,1286; а, =—————=-0,073. 14 910

Таким образом, f(t) =y,= 10,128 - 0,073t для! ^=г- 13, - 11, - 9, .... +13, илит(1) =y,= 11,077-0,146t для t = 0, 1, .... 13.

Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: а„ = 11,077 — это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.;

а, = - 0,146 — показатель силы связи, т. е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 %о ежегодно.

Следующий шаг аналитического выравнивания — оценка надежности уравнения регрессии:

£ (у - у)²

о² = ——————— = 0,37633;

105

£ (f(t) - у)²

= 0,34589;

0,03044;

= 136,4.

о"

Факт

n

^ост = "'у - ^а:

0,34589 • (14-2)

факт

0,03044 • (2-1)

Таким образом, F = 4,747; ex = 0,05; v, = (k - 1) = 1;

v;, = (n - k) = 12 и F^p = 9,330 при а = 0,01, v, = 1, v, = 12.

fa ^> ^тео • ^и Уравнение прямой адекватно отражает сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию.