4.3. Средние величины. Общие принципы их применения

Средняя величина — это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т. е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух пред­приятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т. е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.

1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредня-емого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные.

2. Средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяет получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщающих показателей.

3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними. Например, допустим, что анализ динамики урожай­ности отдельной сельскохозяйственной культуры показывает, что общая по республике средняя урожайность снижается. Однако известно, что урожайность этой культуры зависит от почвенных климатических и других условий и различна в отдельных районах

68

Сгруппировав районы по признакам различия и проанали­зировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных группах районов средняя урожайность либо не изменилась, либо возрастает, а снижение общей средней по республике в целом обусловлено ростом удельного веса районов с более низкой урожайностью в общем производстве этой сельскохозяйственной культуры. Очевидно, что динамика групповых средних более полно отражает закономерности изменения урожайности, а динамика общей средней показывает лишь общий результат.

4. Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса:

степенные средние,

структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

SX-

Х=

где X, — варианта (значение) осредняемого признака;

m — показатель степени средней;

n — число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид ________

Х=

где X, — варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m — показатель степени средней;

f, — частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек:

69

№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)
1 2 3 4 5	18 18 19 20 19	6 7 8 9 10	20 19 19 19 20	11 12 13 14 15	22 19 19 20 20	16 17 18 19 20	21 19 19 19 19

Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:

18 + 19 + 19 + ... + 21 + 19 + 19 + 19 + 19 388

X = ———————————————————————————— = ———— = 19,4

20 20 года.

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:

Возраст, Х лет	18	19	20	21	22	Всего
Число студентов	2	11	5	1	1	20

В результате группировки получаем новый показатель — частоту, указывающую число студентов в возрасте Х лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

_ 18-2+19-11+20-5+21-1+22-1 36+209+100+21+22 388

X = ———————————————————— = —————————————— = ——— -19.4

2+11+5+1+1 20 20 года.

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (т). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

средняя гармоническая, если m = -1;

средняя геометрическая, если m -> 0;

средняя арифметическая, если m = 1;

средняя квадратическая, если m = 2;

средняя кубическая, если m = 3.

Формулы степенных средних приведены в табл. 4.4.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина: _ _ _ _ _

^арм ^< Кеом ^ ^рифм ^< \вшр ^ \уб •

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные,

70

Рассмотрим на примере порядок расчета и выбор формы средней величины.

На основании следующих данных по двум сельско­хозяйственным предприятиям необходимо определить^ в каком из них и насколько выше средняя урожайность зерновых культур:

	Предп	эиятие 1	Предп	риятие 2
Культура	Валовой сбор, ц	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га
Пшеница озимая Рожь Ячмень Просо	32500 1 620 13640 1 650	25 18 22 15	1540 120 460 80	20 19 18 13
Итого	49410	—	2200	—

Таблица 4.4

Виды степенных средних

Вид степенной	Показатель	Формула	расчета
средней	степени (m)	Простая	Взвешенная
		. п	£m —
Гармоническая	- 1	1 V	m
		Х	х m = x f
Геометрическая	0	- "/— Х = I/ Пх =	- Ef/—— X •=- I/ Пх' = Sf
		п/—————— =/ ^-Хп	/ =^х,'х^...х„'"
	1	Ех —	£xf
Арифметическая		п	£f
Квадратическая	2	- /Sx2"	/Zx2!" Xi /
		V п	— / ——— \l £f
Кубическая	3	э/Ь^ У — I /	г Iw у —1 /
		\/ "	|/ Ef

71

Показатель урожайности является вторичным признаком, так как он задан на единицу первичного признака (посевной площади, выраженной абсолютной величиной) и может быть представлен как отношение двух первичных признаков, а именно валового сбора и посевной площади:

ВС

У=————, ПП

где У — урожайность,

ВС — валовой сбор,

ПП — посевная площадь.

Следовательно, для расчета средней урожайности по каждому предприятию необходимо применить среднюю взвешенную. Возникает вопрос: арифметическую или гармони­ческую? В.Е.Овсиенко формализовал порядок выбора формы средней качественного признака на основе следующих правил".

1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должная вычисляться по формуле средней арифме­тической взвешенной.

2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической.

3. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле.

Согласно данным рассматриваемого примера, для сельскохозяйственного предприятия № 1 средняя урожайность должна определяться по правилу 2, изложенному выше, так как известно численное значение числителя в логической формуле средней величины, а именно показатель валового сбора. Исходя из этой же логической формулы значение знаменателя (посевную площадь) можно определить так:

ВС

ПП =———— .

У

Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию № 1:

См.: Овсиенко В. Выбор формы средней и о некоторых ошибках, допускаемых в этом вопросе // Вестник статистики. 1989. № 2.

72

4 ZBC

1=1

4 ВС

£

i=l У,

где в качестве веса выступает валовой сбор.

Данную формулу расчета имеет средняя гармоническая взвешенная:

32500+1620+13640+1650

У,=—————————————————————=

32500 1620 13640 1650

________ ______ l ________ i

^ ^- ———^— -т- ^—^~^—^— -i-

1250

18

22

15

32 500 + 1620 + 13 640 + 1650

49410

= —————————————————————— = ————— = 23,31 ц/га.

1300+90+620+110 2120

Раскроем экономический смысл слагаемых знаменателя:

1300 га — посевная площадь, занятая под озимой пшеницей;

90 га — площадь под рожью; 620 га — под ячменем;

110 га — под просом; 2120 га — посевная площадь сельско­хозяйственного предприятия № 1, занятая под всеми зерновыми культурами.

Для сельскохозяйственного предприятия № 2 средняя урожайность определяется по правилу 1. В условиях задачи присутствует численное значение знаменателя — это показатель посевной площади. Исходя из логической формулы средней величины числитель (валовой сбор) можно определить так:

ВС = У • ПП.

Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию № 2:

4

£ У, ПП,

_ i=i

У,=

£nn,

где в качестве веса выступает посевная площадь.

73

Данную формулу расчета имеет средняя арифметическая взвешенная:

20 • 1540 + 19 • 120 + 18 • 460 +13-80

у=————————————————————————————=

1540 + 170+460 +80

30 800 + 2280 + 8280 + 1040

42400

= 19,27 ц/га.

1540 + 120 + 460 + 80 2200

Экономический смысл слагаемых числителя следующий:

30 800 ц — валовой сбор озимой пшеницы; 2280 ц — ржи; 8280 ц — ячменя; 1040 ц — проса; 42 400 ц — валовой сбор зерновых культур на сельскохозяйственном предприятии № 2.

Следовательно, средняя урожайность зерновых культур на предприятии № 1 по сравнению с предприятием № 2 была выше на 4,04 ц/га (или на 21 %).

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности — носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т. е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т. д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Покажем расчет средней гармонической простой на следующем примере. Три промышленных предприятия заняты производством миксеров. Себестоимость производства миксера на 1-м предприятии — 5 тыс. руб., на 2-м — 3 тыс., на 3-м — 6 тыс. руб.

Необходимо определить среднюю себестоимость миксера при условии, что на каждом предприятии общие затраты на его изготовление составляют 60 тыс. руб.

Попытка решить задачу с помощью средней арифме­тической простой

5+3+6 (X = ——————— = 4,667 тыс. руб.)

3

оказалась бы успешной, если бы каждое предприятие выпускало по одному миксеру, но это не так, а потому

Общие затраты на Средняя себестоимость производство (тыс.руб.) одного миксера, тыс. руб./шт. = ———————————————— .

Количество произве­денных миксеров (шт.)

74

Рассчитаем количество миксеров, произведенных каждым предприятием:

60 1) ——=12 шт.;

5

60

2)

= 20 шт.;

60

3)

=10 шт.

Вычислим среднюю себестоимость по формуле средней гармонической взвешенной:

60+60+60 180 X = ——————————— = ——— = 4,286 тыс. руб.

60 60 60 42

5 3 6

Таким образом, в среднем на изготовление одного миксера было израсходовано 4,286 тыс. руб.

В качестве веса в этой задаче был принят показатель общих затрат на производство миксеров, который представляет собой произведение себестоимости на количество единиц сово­купности.

Так как общие затраты на всех предприятиях одинаковы, то к аналогичному результату приводит и расчет по средней гармонической простой:

1+1+1 Х = ———————— = 4,286 тыс. руб.

1 1 1

536

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым'. Этот итоговый

' Боярский А.Я. Теоретические исследования по статистике:

Сб. науч. трудов. — M.: Статистика, 1974. С. 19 — 57.

75

характер его определяет Покажем это

показатель называется определяющим, поскольку взаимосвязи с индивидуальными значениями конкретную формулу расчета средней величины. правило на примере средней геометрической. Формула средней геометрической

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i,, \y \у ..., i„. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q^) и последующим наращиванием по годам:

Чп^О • '1 • '2 • - • 'n-

Приняв q^ в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

=Чо -О

n раз

Отсюда

Интересно, что к расчету показателя средних темпов роста можно подойти и по-иному. Примем в качестве определяющего показателя общий объем производства за n лет:

Q=q,+q,+...+q„.

Тогда Q = q„ • i, + q„ • i, • i, + ... + q„ • i, • i^ • ... • i„. Заменяем индивидуальные значения средним:

Q/q„= (7+ Р+Р+ ... + i").

Таким образом, если известно, во сколько раз суммарный объем производства за n лет должен превысить уровень базисного года, то для определения среднего коэффициента роста надо решить уравнение степени n.

Найденное среднее значение коэффициента роста дает ответ на вопрос, какими темпами должен ежегодно возрастать показатель, чтобы в итоге получился суммарный объем Q.

76

3 и n = 5 для

Приведем таблицу решений уравнения при n Q/q в интервале от 3 до 10:

				Q/	Чо		^
n	3	4	5	6	7	8	9	10
3 5	1 0,834	1,151 0,927	1,278 1	1,389 1,061	1,489 1,114	1,578 1,161	1,661 1,203	1,734 1,241

Например, чтобы среднегодовой объем производства в предстоящие 5 лет был больше объема базисного года на 20 % (в итоге за 5 лет будет произведено в 6 раз больше продукции, чем в предшествующем году), следует ежегодно увеличивать объем производства на 6,1 -6,2 %. По сравнению с базисным ежегодное производство должно будет составлять 106,1 %; 112,6;

119,6; 127,0; 134,7%.