Тема 6. Механічні коливання

№	Формула	Назва формули	Позначення
1	2	3	4
1	; або	Диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань і його розв’язок	А - амплітуда; ω0- власна циклічна частота коливань; φ0 - початкова фаза; t - час
2		Період гармонічних коливань
3		Швидкість і прискорення гармонічних коливань
4		Повна енергія гармонічних коливань	m - маса коливної системи
5		Період коливань пружинного маятника	m - маса тіла; k - жорсткість пружини
6		Період коливань математичного маятника	- довжина маятника; g - прискорення вільного падіння
7		Період коливань фізичного маятника	І - момент інерції маятника відносно точки його підвісу; m - маса маятника; - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника
1	2	3	4
8		Рівняння згасаючих коливань при врахуванні сили опору	А0 - початкова амплітуда; δ - коефіцієнт згасання; ω - частота; φ - початкова фаза
9		Коефіцієнт згасання	r - коефіцієнт опору; m - маса коливної системи
10		Частота згасаючих коливань	ω0 - власна циклічна частота коливної системи; δ - коефіцієнт згасання
11		Період згасаючих коливань
12		Добротність коливної системи
13		Логарифмічний декремент згасання	t - час; Т - період коливань; δ - коефіцієнт згасання
14	, де	Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язок	F0 - змушувальна сила; m - маса коливної системи; ω0 - циклічна частота коливної системи; ω - циклічна частота змушувальної сили; А - амплітуда вимушених коливань; φ - початкова фаза
15		Резонансна частота і амплітуда вимушених коливань

ЗАДАЧІ

1. Вантаж, який піднімає баштовий кран, розхитується у горизонтальній площині, виконуючи одне повне коливання за час Т=8 с. Коливання почалися з положення рівноваги вантажу. За який час вантаж проходить шлях, що дорівнює першій половині амплітуди, другій половині і цілій амплітуді? (0,67 с; 1,33 с; 2 с)

2. Вантаж, який піднімає баштовий кран, розхитується у горизонтальній площині і виконує гармонічні коливання за законом , де А=0,8 м, Т=50 с, φ=0. Маса вантажу т=200 кг. Визначити максимальну силу, що діє на вантаж і повну енергію вантажу, що коливається. (2,5 Н; 1 Дж)

3. Решето грохота здійснює вимушені коливання в горизонтальній площині з періодом Т=0,8 с. На нього сиплеться щебінь, який починає ковзати, коли амплітуда коливань досягає А=6 см. Визначити коефіцієнт тертя спокою щебеню на решеті. (0,38)

4. Однорідна кулька радіусом r=4 см рухається по внутрішній стороні сферичної поверхні дробильної системи. Радіус сферичної поверхні R=1,5 м. Вважаючи коливання кульки гармонічними, визначити їх період. (2,05 с)

5. Дві пружини з коефіцієнтами жорсткості k₁=200 кН/м і k₂=400 кН/м з'єднані у випадку дробарки послідовно, а у випадку віброгрохота – паралельно. Визначити відно­шення періоду коливань вантажу дробарки до періоду коливань такого ж вантажу віброгрохота. (2,12)

6. Товарний вагон масою т=80 т має чотири ресори. Жорсткість кожної пружини k=600 кН/м. Середня відстань між стиками рейок дорівнює L=12 м. За якої швидкості вагон почне сильно розгойдуватися внаслідок поштовхів на стиках рейок? (3,8 км/год)

7. Автомобіль масою т=900 кг рухається на ділянці горбистої дороги. Коефіцієнт жорсткості ресор k=9 кН/м. На ділянці дороги завдовжки L=30 м розміщено п=5 рівновіддалених ям. За якої швидкості автомобіля його коливання у вертикальній площині будуть особливо сильними? (13,5 км/год)

8. Автомобіль масою т₁=3000 кг заїжджає на паром площею S=200 м², маса якого т₂=10 т. При цьому система набуває коливального руху у вертикальному напрямі. Густина води ρ=1000 кг/м³. Визначити частоту коливань системи. (1,96 Гц)

9. Відсадна машина, маса елемента якої, що здійснює коливальний рух, дорівнює т=10 кг, а жорсткість k=20 Н/м, працює в бетоні з коефіцієнтом опору r=2 кг/с. Визначити частоту і період згасаючих коливань. (0,32 Гц; 3,14 с)

10. Система елемента щокової дробарки коливається з амплітудою А=1 мм і частотою ν=5 Гц. Коефіцієнт опору дорівнює r=200 кг/с. Визначити максимальну силу опору. (18,84 Н)

11. Система елемента вібромашини масою т=12 кг здійснює згасаючі коливання, логарифмічний декремент згасання яких θ=0,5. Коефіцієнт опору середовища r=2,4 кг/с. Визначити частоту коливань системи. (0,2 Гц)

12. Решето у машині для відсіювання сипучих матеріалів здійснює пружні коливання. Логариф­мічний декремент згасання коливань θ=0,11. Амплітуда коливань зменшилась в три рази. Скільки коливань здійснює решето. (10)

13. Решето масою т=20 кг у машині для відсіювання щебеню здійснює згасаючі коливання. Протягом часу t=20 с решето втратило 20% своєї енергії. Визначити коефіцієнт опору. (0,223)

14. Решето у машині для відсіювання гравію здійснює згасаючі коливання. Логарифмічний декремент згасання θ=0,02. Енергія решета за час коливань зменшилась у п=2 рази. Визначити кількість повних коливань системи. (17)

15. У машині для відсівання гірничої породи решето масою т=10 кг, що коливається, з'єднане з корпусом пружинами із загальною жорсткістю k=1000 Н/м. Коливання здійснюються в середовищі з коефіцієнтом опору r=1 кг/с. На решето діє змушувальна сила, що змінюється за законом F=F₀ωt, де F₀=2 Н. Визначити значення резонансної амплітуди решета. (20 см)