Розділ 1. Механіка

Тема 1. Кінематика матеріальної точки

№	Формула	Назва формули	Позначення
1	2	3	4
1		Кінематичні рівняння руху в координатній формі	- координати точки; t - час
2		Кінематичне рівняння руху в природній формі	- шляхова координата
3		Радіус-вектор матеріальної точки	- одиничні вектори (орти) координатних осей
4		Модуль радіуса - вектора
5		Вектор середньої швидкості	- вектор переміщення
6		Модуль середньої швидкості	- шлях, пройдений точкою за час
7		Вектор миттєвої швидкості Проекції вектора швидкості на осі координат	- похідна від радіуса-вектора за часом - похідні від координат за часом
8		Модуль миттєвої швидкості	- похідна від шляху за часом
1	2	3	4
9		Вектор середнього прискорення	- зміна вектора швидкості за час
10		Вектор миттєвого прискорення Проекції вектора прискорення на осі координат	- похідна від вектора миттєвої швидкості за часом - похідні від проекцій вектора миттєвої швидкості за часом
11		Модуль миттєвого прискорення
12		Шлях як первісна від модуля миттєвої швидкості
13		Кінематичні рівняння рівнозмінного поступального руху	- початкова швидкість; - кінцева швидкість
14		Модуль миттєвої швидкості як первісна від тангенціальної складової прискорення
1	2	3	4
15		Тангенціальне, нормальне і повне прискорення	υ- модуль миттєвої швидкості; R - радіус кривизни траєкторії
16		Кутова швидкість	- похідна від кута повороту за часом
17		Кутове прискорення	- похідна від кутової швидкості за часом
18		Кутова швидкість у рівномірному обертанні	- число обертів; n - частота обертання; - період обертання
19		Шлях, пройдений тілом по дузі кола	- радіус кола; - кут повороту (в рад)
20		Зв’язок між лінійною і кутовою швидкістю	- радіус кола
21	;	Зв'язок тангенціального і нормального прискорень із кутовими величинами
22	; ; ;	Кінематичні рівняння рівнозмінного обертального руху	ωо- початкова кутова швидкість; ω - кінцева кутова швидкість; - число обертів

ЗАДАЧІ

1. Два вантажні автомобілі одночасно виїхали з пункту А до пункту В. Один з них першу половину шляху їхав із постійною швидкістю ₁, а другу половину шляху – зі швидкістю ₂. Другий автомобіль їхав половину всього часу свого руху зі швидкістю ₁, а другу половину часу – зі швидкістю ₂. Визначити середню швидкість руху кожного автомобіля, якщо ₁=30 км/год, а ₂= 50 км/год. (37,5 км/год; 40 км/год)

2. Підіймальний кран потрібно перемістити у найкоротший термін на відстань S=8 м. Кран може прискорювати або уповільнювати свій рух лише з однаковим за абсолютною величиною і сталим прискоренням a=0,5 м/с². Якої найбільшої швидкості може досягнути кран? (2 м/с)

3. Стрічковий транспортер роторного екскаватора розташований під кутом а=45° до горизонту, його висота h=2,1 м. Стрічка транспортера, на якій є гірнича порода, рухається зі швидкістю =6,55 м/с. На яку відстань від місця викиду переміщується гірнича порода? (5,94 м)

4. Рух піску, який скидається зі стрічки горизонтального транспортера, розміщеного над поверхнею землі на висоті h=2 м, визначається рівняннями х=2t, у=6,4t². Визначити дальність польоту піску і час його падіння. (1,12 м; 0,56 с)

5. У копрі для забивання паль вантаж рівномірно піднімається на висоту h=4,9 м за час t₁=5 с, після чого відразу падає на палю. Визначити, скільки ударів робить вантаж за час t=1 хв? (10)

6. Автомобіль проїхав шлях S=24 км до завантаження цеглою зі сталою швидкістю ₁=60 км/год. Швидкість повернення машини ₂=40 км/год. Середня швидкість всієї поїздки < >=30 км/год. Скільки часу автомобіль навантажували цеглою? (36 хв)

7. Під яким кутом до горизонту потрібно направити струмінь води, щоб висота підйому дорівнювала відстані, на яку б’є струмінь води? (76°)

8. Автомобіль рухається перпендикулярно до стіни зі швидкістю =72 км/год. У момент часу, коли до стіни залишилось S=400 м, автомобіль подав короткий звуковий сигнал. Яку відстань ∆S він пройде до того моменту, коли водій почує луну? Швидкість звуку в повітрі _зв=339 м/с. (44,57 м)

9. Яким повинен бути найменший нахил даху, щоб дощова вода стікала з нього якнайшвидше? Тертя не враховувати. (45°)

10. Залежність пройденого автомобілем шляху від часу задається рівнянням S=А+Bt+Сt²+Dt³, де С=0,14 м/с², D=0,01 м/с³. Через який час після початку руху прискорення автомобіля дорівнюватиме а= 1м/с². (12 с)

11. Одночасно з одного і того самого пункту в одному напрямку починають рухатись прямолінійно два автомобілі. Залежність пройденого шляху від часу визначається рівняннями S₁=С₁t² і S₂=С₂t²+D₂t³, де С₁=3 м/с², С₂=5 м/с², D₂=3 м/с³. Визначити відносну швидкість автомобілів у момент часу t =2 с. (44 м/с)

12. Залежність швидкості самоскиду від часу задається рівнянням =А+Вt+Сt², де А=2 м/с, В=0,4 м/с², С=0,03 м/с³. Який шлях проходить самоскид за проміжок часу від t₁=2 с до t₂=5 с? Яка середня швидкість самоскиду і середнє прискорення за цей проміжок часу? (11,37 м; 13,6 км/год; 0,39 м/с²)

13. Залежність швидкості автомобіля від часу визначається рівнянням S=А+Bt, де А=3 м/с, B=4 м/с². Який шлях проходить автомобіль за проміжок часу від t₁=0 с до t₂=4 с? Визначити середню швидкість автомобіля за цей проміжок часу. (44 м; 11 м/с)

14. Самоскид, навантажений рудою, рухається по закругленню дороги, що має радіус R=50 м. Залежність пройденого самоскидом шляху від часу задається рівнянням S=А+Bt+Сt², де А=10 м, В=10 м/с, С= - 0,5 м/с². Визначити для моменту часу t =5 с швид­кість самоскида, його тангенціальне, нормальне і повне прискорення. (5 м/с; -1 м/с²; 0,5 м/с²; 1,12 м/с²)

15. Прожектор на стрілі баштового крана рухається по дузі кола радіуса R=9 м. Залежність шляху прожектора від часу подається рівнянням S=Dt³, де D=0,001 м/с³. Визначити момент часу, коли лінійна швидкість прожектора дорівнює =0,3 м/с. Знайти нормальне, тангенціальне і повне прискорення прожектора в цей момент часу. (10 с; 0,010 м/с²; 0,060 м/с²; 0,061 м/с²)

16. Вагонетка, що використовується для відкатки ґрунту під час будівництва тунелю, рухається горизонтально по закругленню радіуса R=200 м. Рух вагонетки описується рівнянням S=А + Сt², де А=4 м, С=0,1 м/с². Визначити момент часу, коли нормальне прискорення вагонетки а_n=0,5 м/с². Визначити швидкість і повне прискорення вагонетки в цей момент часу. (50 с; 10 м/с; 0,54 м/с²)

17. Точка на ободі блока радіусом R=0,2 м починає рухатися за годинниковою стрілкою разом з блоком із сталим тангенціальним прискоренням а_τ=0,15 м/с². Через який час вектор прискорення точки утворить із вектором швидкості кут α=60°? Який шлях пройде за цей час точка на ободі блока? (1,52 с; 0,17 м)

18. Шків радіусом R₁=15 см сполучений ремінною передачею зі шківом радіусом R₂=10 см. Частота обертання першого шківа п₁=10 об/с. Визначити частоту п₂ обертання другого шківа. (15 об/с)

19. Автомобіль рухається зі швидкістю =60 км/год. Зовнішній діаметр покришок коліс D=60 см. Скільки обертів за секунду роблять колеса автомобіля, якщо вони котяться по шосе без ковзання? Визначити доцентрове прискорення зовнішнього шару ґуми на покришках коліс автомобіля. (8,8 об/с; 925,9 м/с² )

20. Колесо обертається згідно з рівнянням φ= А+Bt+Сt²+Dt³, де А=1 рад, В=4 рад/с, С=0,5 рад/с², D=0,6 рад/с³. Визначити кутову швидкість ω і кутове прискорення ε колеса в момент часу t=2 с. (13,2 рад/с; 8,2 рад/с²)

21. Кутова швидкість вала змінюється згідно з рівнянням ω=А+Bt+Сt², де А=3 рад/с, В=2 рад/с², С=0,6 рад/с³. На який кут φ повернеться вал за проміжок часу від t₁=0 с до t₂=10 с? Знайти середню кутову швидкість <ω> за цей проміжок часу. (330 рад; 33 рад/с)

22. Якір електродвигуна обертається з частотою п₀=50 об/с. Після вимкнення струму якір почав рухатися рівносповільнено і до зупинення зробив N=1570 обертів. Визначити кутове прискорення ε якоря. (5 рад/с²)

23. Колесо підіймального механізму, яке оберталось зі сталою частотою п₁=16 с^–1 під час гальмування почало обертатись рівносповільнено і виконало N=314 обертів. Коли гальмування припинилось, обертання колеса знову стало рівномірним з частотою п₂=4 с^–1. Визначити кутове прискорення колеса ε і час t, протягом якого здійснювалось гальмування. ( 2,4 рад/с²; 31,4 с)

24. Маховик, обертаючись рівноприскорено, збільшив за час t=2 с частоту обертання від п₁=4 об/с до п₂=14 об/с. Визначити кутове прискорення ε маховика і кількість обертів N, які він здійснив за цей час.(31,4 рад/с²; 18 обертів)

25. Диск радіусом R=4 см обертається навколо нерухомої осі так, що залежність кутової швидкості від часу задається рівнянням ω=Аt+Dt⁴, де А=2рад/с², D=0,5 рад/с³. Визначити повне прискорення а точок на ободі диска в момент часу t=2 с після початку руху. (5,8 м/с²)

26. Вал обертається навколо нерухомої осі так, що кут його повороту залежить від часу як φ=Сt², де С=0,7 рад/с². У момент часу t=1,5 с лінійна швидкість точки на ободі валу =0,5 м/с. Визначити повне прискорення а цієї точки. (1,1 м/с²)

27. Скільки обертів зробили колеса автомобіля після вмикання гальма до повної зупинки, якщо на момент початку гальмування автомобіль мав швидкість ₀=54 км/год і зупинився протягом часу t=3 с після початку гальмування? Діаметр коліс D=70 см. Чому дорівнює кутове прискорення коліс при гальмуванні? (10 обертів; - 14,3 м/с²)

28. Колесо обертається з постійним кутовим прискоренням ε=3 рад/с². Визначити радіус колеса, якщо через час t=1 с після початку руху повне прискорення колеса а=7,5 м/с². (0,79 м)

29. Диск радіусом R=20 см обертається відповідно до рівняння , де А=3 рад, В=–1 рад/с, С=0,1 рад/с³. Визначити тангенціальне, нормальне і повне прискорення точок на колі диска для моменту часу t=10 с. ( 1,2 м/с²; 168 м/с²; ≈168 м/с²)

30. Майданчик підйомника з вантажем розміщено на найнижчій відмітці. Після увімкнення майданчик з вантажем починає підніматися прискорено протягом часу t₁=120 с, потім піднімається зі сталою швидкістю протягом часу t₂=180 с і перед зупиненням сповільнюється протягом часу t₃=t₁. Діаметр барабана лебідки підйомника D=20 см. Майданчик піднявся на висоту h=8 м. Визначити кутове прискорення ε барабана під час нерівномірного руху. (0,0022 рад/с²)