Тема 3. Динаміка обертального руху

№	Формула	Назва формули	Позначення
1	2	3	4
1		Момент сили	F - сила; l - плече сили
2		Момент інерції матеріальної точки Момент інерції твердого тіла	- маса матеріальної точки; - радіус обертання точки
3		Загальна формула моменту інерції однорідного твердого тіла	ρ - густина тіла;
4	1) 2) 3) 4)	Моменти інерції деяких твердих тіл відносно осі, що проходить через центр мас	Однорідний стержень масою і довжиною Однорідне кільце масою і радіусом Однорідний циліндр масою і радіусом Однорідна куля масою і радіусом
5		Теорема Штейнера	- момент інерції тіла відносно даної осі обертання; - момент інерції відносно паралельної осі обертання, що проходить через центр мас тіла; d- відстань між осями
6		Момент імпульсу матеріальної точки Момент імпульсу твердого тіла	- швидкість матеріальної точки
1	2	3	4
7		Основне рівняння динаміки обертального руху	- кутове прискорення
8		Зв'язок моменту імпульсу і моменту інерції	- кутова швидкість
9		Робота постійного моменту сили Робота змінного моменту сили	- момент сили; - кут повороту
10		Потужність при обертанні тіла	- момент сили; - кутова швидкість
11		Кінетична енергія тіла, що обертається навколо нерухомої осі	- момент інерції; - кутова швидкість
12		Кінетична енергія тіла, що котиться без ковзання	- кінетична енергія поступального руху тіла; - кінетична енергія обертального руху тіла

ЗАДАЧІ

1. Маса автокрана т₁=5500 кг, ширина колії d=1,8 м, довжина стріли L=10 м. Кут нахилу стріли відносно вертикалі α=30°. Який максимальний вантаж може підняти автокран, не перекидаючись, якщо початок стріли розташований над ближнім до вантажу колесом крана? (990 кг)

2. Маса автокрана т₁=5500 кг, ширина колії d=1,8 м, довжина стріли L=10 м. Кут нахилу стріли відносно вертикалі α=30°. Який максимальний вантаж може підняти автокран, не перекидаючись, якщо початок стріли розташований над дальнім від вантажу колесом крана? (1031,25 кг)

3. Драбину масою т₁=8 кг і завдовжки L=4 м приставлено до гладкої стіни. Кут між драбиною і підлогою дорівнює α=60°, коефіцієнт тертя об підлогу дорівнює μ=0,55. На яку максимальну висоту може піднятися людина масою т₂=70 кг? (1,99 м)

4. На будівництві розвантажують труби. На землю поклали впритул одна до одної дві однакові труби. Зверху кладуть ще таку саму трубу. Труби по землі не ковзають. За якого коефіцієнта тертя між трубами вони не розкотяться? (0,27)

5. Під час обертання однорідного суцільного диска масою т=10 кг навколо осі, що проходить через його центр перпендикулярно до його площини, по дотичній до диска прикладено силу F=20 Н, і на нього діє момент сили тертя М_тр=5 Н·м. Кутова швидкість обертання диска задається рівнянням ω=А +Вt, де А =2 рад/с, В=4 рад/с². Визначити радіус R диска. (0,5 м)

6. Маховик у формі диска масою т=10 кг і радіусом R=0,25 м обертається з частотою п=40 об/с. Коли вимкнути привід, маховик, зробивши N=200 обертів, під дією тертя зупинився. Визначити момент сили тертя М_тр, що діяв на маховик. (15,7 Н·м)

7. Однорідний суцільний диск масою т=5 кг і радіусом R=0,2 м обертається з кутовою швидкістю ω₁=6,1 рад/с навколо осі, що проходить через центр диска. Момент сили тертя, що діє на диск прямо пропорційний кутовій швидкості: М_тр=Вω, де В=0,01 Н·м·с/рад. Визначити кутову швидкість ω₂ диска через час t=30 с після припинення дії зовнішнього моменту сил. Скільки обертів зробить диск протягом цього часу? (0,3 рад/с; 15,3 об)

8. Вал у вигляді однорідного суцільного циліндра масою т₁=5 кг насаджено на горизонтальну вісь. На циліндр намотано шнур, до вільного кінця якого підвішений вантаж масою т₂=2,5 кг. З яким прискоренням опускатиметься вантаж? (4,9 м/с²)

9. На маховик діаметром D=0,4 м намотано невагомий шнур, до вільного кінця якого прив'язаний вантаж масою т=5 кг. Обертаючись рівноприскорено під дією сили тяжіння вантажу, маховик за час t=4 с набув кутової швидкості ω=8 рад/с. Визначити момент інерції маховика. (4,7 кг·м²)

10. Маховик у вигляді диска масою m=50 кг і радіусом R=20 см був розкручений до частоти обертання n₁=480 хв^-1 і потім його полишили самого. Внаслідок тертя маховик зупинився через час t=50 с, зробивши до повної зупинки N=200 обертів. Знайти момент М сил тертя, вважаючи його незмінним. (- 1Н·м)

11. Платформа у вигляді диска радіусом R=1,5 м і масою m₁=180 кг обертається за інерцією навколо вертикальної осі із частотою n=10 хв^-1. У центрі платформи стоїть людина масою m₂=60 кг. Яку лінійну швидкість відносно підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи? (0,942 м/с)

12. На барабан радіусом R=10 см намотано нитку, до кінця якої прив'язаний вантаж масою m=0,5 кг. Знайти момент інерції барабана, якщо вантаж опускається із прискоренням а=1 м/с². (4,4 ·10^-2 кг·м²)

13. Маховик, момент інерції якого дорівнює І=63,6 кг·м², обертається з постійною кутовою швидкістю ω=31,4 рад/с. Знайти гальмівний момент М, під дією якого маховик зупиняється через час t=20 с.(100 Н·м)

14. Якір електродвигуна обертається із частотою n=1500 хв^-1. Визначити обертальний момент М, якщо двигун розвиває потужність N = 500 Вт. (3,18 Н·м)

15. Шліфувальний диск діаметром d=30 см обертається з частотою п=2 об/с. Мармуровий камінь притискають до поверхні диска з силою F=100 Н. Коефіцієнт тертя між диском і каменем μ=0,2. Яку роботу за час t=1 год виконує двигун, що обертає диск? (2,26 кДж)

16. Знайти корисну потужність двигуна, що приводить у рух платформу у вигляді диска масою m₁=280 кг і радіусом R=1 м, на краю якої стоїть людина масою m₂=60 кг, якщо за час t=30 с платформа набуває швидкості, що відповідає частоті n=1,2 об/с. (190 Вт)