Тема 2. Динаміка матеріальної точки. Робота і енергія. Сили в механіці

№	Формула	Назва формули	Позначення
1	2	3	4
1		Основне рівняння динаміки (другий закон Ньютона)	- сила; m - маса; - прискорення; - похідна від швидкості за часом
2		Імпульс матеріальної точки і системи матеріальних точок	- імпульс; n - кількість точок (тіл) у системі
3		Другий закон Ньютона в імпульсній формі	- похідна від імпульсу за часом
4		Закон збереження імпульсу замкненої системи
5		Робота постійної сили Робота змінної сили	F- сила, що виконує роботу; S – переміщення; α - кут між силою і переміщенням; FS - проекція сили на напрямок переміщення
6		Середня потужність Миттєва потужність	- похідна від роботи за часом; υ - швидкість; F- сила;  - кут між напрямком сили і швидкістю
1	2	3	4
7	;	Кінетична енергія Потенціальна енергія	m - маса тіла; υ- швидкість; g - прискорення вільного падіння; h - висота; k - коефіцієнт пружності; x- абсолютна деформація
8		Закон збереження механічної енергії замкненої системи	Е - повна механічна енергія замкненої системи
9		Закон збереження імпульсу при абсолютно непружному ударі	m1;m2 - маси тіл; - швидкості тіл до удару; - спільна швидкість обох тіл після удару
10		Спільна швидкість тіл після абсолютно непружного удару
11		Закон збереження імпульсу при абсолютно пружному ударі	m1;m2 - маси тіл; - швидкості тіл до удару; - швидкості тіл після удару
12		Закон збереження кінетичної енергії при абсолютно пружному ударі
13		Швидкість обох тіл після абсолютно пружного удару
14		Коефіцієнт відновлення при ударі	Un - нормальна складова відносної швидкості тіл після удару; υn - складова до удару
1	2	3	4
15		Сила пружності (закон Гука)	k - коефіцієнт пружності тіла (жорсткість у випадку пружини); x - абсолютна деформація тіла
16	1) ; 2)	Жорсткість пружин	1) при паралельному з’єднанні; 2) при послідовному з’єднанні
17	Fтяж = mg	Сила тяжіння	m - маса тіла; g - прискорення вільного падіння
18	= N	Сила тертя ковзання	 - коефіцієнт тертя ковзання; N - сила нормального тиску
19	= k	Сила тертя кочення	k - коефіцієнт тертя кочення; N - сила нормального тиску; - радіус тіла, що котиться
20	=	Відцентрова сила інерції	m - маса тіла; ω - кутова швидкість; - радіус обертання тіла

ЗАДАЧІ

1. Статичний прогин ресори від вантажу масою m, покладеного на її середину, дорівнює h₀=2 cм. Знайти прогин ресори, якщо той же вантаж впаде без початкової швидкості на середину ресори з висоти H=1 м. (20 см)

2. Підіймальний кран опускає палю масою m=200 кг, яка підвішена на тросі, спочатку рівноприскорено, потім рівномірно і, нарешті, рівносповільнено. Абсолютне прискорення у всіх випадках дорівнює а=0,8 м/с². Якою буде сила натягу тросу в усіх випадках?(1800 Н; 1960 Н; 2120 Н)

3. Трос підіймального крана витримує силу натягу Т=5 кН. Який максимальний вантаж він може підняти з прискоренням а=1,5 м/с²? (442,5 кг)

4. Під час монтажу будинку підіймальний кран починає піднімати з прискоренням а=0,5 м/с² бетонну плиту масою m=400 кг, яка підвішена до гака за допомогою чотирьох cтроп завдовжки L=2 м кожна. Кінці строп розташовані у вершинах квадрата зі стороною l=1,5 м. Визначити силу натягу кожного стропа. (1111 Н)

5. Тросом підіймального крана, що витримує натяг Т=6 кН, піднімають бетонну плиту масою m=500 кг зі стану спокою вертикально догори. Рух плити рівноприскорений і сила опору F_оп=200 Н. Визначити максимальну висоту, на яку можна підняти плиту за час t=5 с, так, щоб трос не порвався. (22,5 м)

6. Похила площина може змінювати кут α нахилу у разі незмінної довжини основи. З її верхньої точки вільно ковзає мішок з цементом. Коефіцієнт тертя мішка об площину дорівнює μ=0,25. За якого кута α₀ нахилу площини до горизонту час ковзання мішка буде мінімальним? (38°)

7. Локомотив із вагонами, що рухається зі сталою швидкістю =0,2 м/с, завантажується гірничою породою. Швидкість завантаження становить u=800 кг/с. Знайти силу тяги локомотива. Втрати механічної енергії під час руху не враховувати.(160 Н)

8. Для рівномірного піднімання вантажу масою m=100 кг по похилій площині, яка утворює кут α=60° з вертикаллю, треба прикласти силу F=600 Н. З яким прискоренням рухатиметься вантаж донизу, якщо його відпустити? (3,8 м/с²)

9. Через нерухомий блок перекинуто шнур, до одного із кінців якого прив'язане відро з розчином масою m=25 кг. За час t=2хв відро рівноприскорено піднімається на висоту h=6 м. Масою шнура і блока знехтувати. З якою силою робітник тягне інший кінець шнура? (247,5 Н)

10. Для завантаження руди у вагонетки використовують стрічковий трап, який переміщує руду догори по нахилу на висоту h =5 м. За час t₁=1 хв транспортер подає руду масою m=12 т. Яку роботу виконує транспортер за час t₂=5 хв? (29,4·10 ⁵ Дж)

11. Палю масою m₁=100 кг забивають в ґрунт копром масою m₂=400 кг, який вільно падає з висоти Н=5 м. Під час кожного удару паля опускається на глибину h=5 cм. Визначити силу опору ґрунту. (325 кН)

12. Копром масою m=500 кг, який вільно падає з висоти Н=2 м, забивають палю. Від удару паля заглиблюється в землю на h=2 см. Маса палі значно менша від маси копра. Визначити силу опору ґрунту, вважаючи її сталою, і тривалість удару копра об палю. (494,9 кДж; 6·10^–3с)

13. Швидкість самоскида, що навантажений гірничою породою, на деякій ділянці залежить від пройденого шляху за законом =В+СS, де В=2 м/с, С=0,03 с^–1. Маса самоскида m =7,5 т. У момент часу t₁=10 с швидкість самоскида ₁=36 км/год. Визначити роботу двигуна в інтервалі часу від t₁ до t₂=30 с. (870 кДж)

14. Електровоз рухається під дією сили тяги F, яка змінюється залежно від пройденого шляху за законом F=В+СS+DS², де В=300 Н, С=50 Н/м, D=3 Н/м². Визначити роботу сили на ділянці шляху від S₁=3 м до S₂=50 м. (32 598 Дж)

15. Сила тяги автомобіля змінюється залежно від шляху за законом F=В+СS, де В=500 Н, С=80 Н/м. Визначити роботу А сили на ділянці шляху від S₁=2 м до S₂=10 м. (7 840 Дж)

16. Прискорення бульдозера змінюється за законом а=В+СS+DS², де В=0,1 м/с², С=2·10^–4 1/с², D=3·10^–6 1/мс². Маса бульдозера m=5·10³ кг. Визначити роботу переміщення бульдозера на ділянці шляху від положення S₁=0 м до положення S₂=190 м. (60 кДж)

17. Під час будівництва мосту кран опускає палю об'ємом V=0,16 м³ на дно озера завглибшки h=4 м. Густина бетону ρ_б=2200 кг/м³, густина води ρ_в=1000 кг/м³. Визначити роботу, яка виконана у разі занурення палі. (10,66 кДж)

18. Стрічковий транспортер переміщує мішок з цементом масою m=500 кг з прискоренням а=1 м/с². Коефіцієнт тертя мішка об стрічку дорівнює μ=0,1. Довжина стрічки l=2 м, кут між стрічкою і горизонтом α=30°. Визначити ККД транспортера і середню потужність. (72,59%; 675 Вт)

19. Мішок з цементом ковзає без початкової швидкості з висоти Н=2 м по дошці нахиленій під кутом α=45° до горизонту. Після спуску мішок потрапляє на горизонтальну підлогу. Коефіцієнт тертя мішка об дошку та підлогу однаковий та дорівнює μ=0,5. На якій відстані від кінця дошки мішок зупиниться? (0,25 м)

20. Розрівнюючи ґрунт, бульдозер рухається зі швидкістю =3,6 км/год і розвиває потужність N=2000 Вт, причому 60% потужності витрачається на переміщення самої машини. Який опір долає бульдозер? (1200 Н)

21. Автомобіль рухається під гору з незначним підйомом зі сталою швидкістю ₁=10,8 км/год. Якщо він рухається в зворотному напрямі, тобто згори, то за тієї самої потужності двигуна встановлюється швидкість ₂=25,2 км/год. Яка швидкість встановиться за тієї самої потужності двигуна під час руху по горизонтальному шляху? (15,12 км/год)

22. Бульдозер має масу m=2 т і розвиває потужність N=23,52 кВт. Коефіцієнт опору μ=0,6. Якою є максимальна швидкість бульдозера? З яким прискоренням рухається бульдозер у момент часу, коли його швидкість становить =1,2 км/год? (7,2 км/год; 3,92 м/с²)

23. Автомобілі зі встановленими на них двигунами потужністю N₁=294,00 кВт і N₂=317,52 кВт розвивають швидкість ₁=72 км/год і ₂=64,8 км/год. З якою швидкістю їхатимуть автомобілі, якщо їх з'єднати тросом? (68,1 км/год)

24. Автомобіль масою m =4 т з обома ведучими осями рушає з місця. Двигун працює зі сталою потужністю N=31,36 кВт. Коефіцієнт тертя ковзання коліс об дорогу дорівнює μ=0,4. Якою буде швидкість автомобіля через час t=20 с? (63,3 км/год)

25. Сталевий дріт деякого діаметру витримує силу натягу Т=4,4 кН. З яким найбільшим прискорення можна піднімати вантаж масою m=400 кг, підвішений на цьому дроті, щоб він не розірвався? (1,25 м/с²)

26. Автомобіль, рухаючись рівносповільнено, зупиняється за час t=5 с, пройшовши до зупинки шлях S= 25 м. Маса автомобіля m=1020 кг. Знайти початкову швидкість автомобіля і гальмівну силу. (36 км/год; 2,04 кН)

27. Який кут із горизонтом складає поверхня бензину в баці автомобіля, що рухається горизонтально з прискоренням а=2,44м/с²? (14⁰)

28. На горизонтальну поверхню насипали гравій, що утворив конус із кутом піврозхилу α=60⁰. Визначити коефіцієнт тертя між частинками гравію. (0,58)

29. З якою швидкістю рухався вагон масою m=20 т, якщо при ударі в стінку кожен буфер вагона стиснувся на x=10 см? Жорсткість пружин кожного буфера k=1 МН/м. (1 м/с)

30. На краю платформи, що обертається, лежить вантаж. При якій частоті обертання вантаж почне сковзати? Радіус платформи R=50 cм, коефіцієнт тертя між платформою і вантажем μ=0,5. Відповідь округлити до десятих. (0,5 об/с)