Тема 10. Перший закон термодинаміки

№	Формула	Назва формули	Позначення
1	2	3	4
1		Середня повна кінетична енергія молекули газу (закон Больцмана)	i - число ступенів свободи молекули; k - стала Больцмана Т - абсолютна температура газу
2	і = iпост + iоб + 2ікол	Число ступенів свободи молекули	iпост, iоб, ікол - число поступальних, обертальних та коливальних ступенів свободи молекули
3		Внутрішня енергія ідеального газу	N - число молекул; m - маса газу; M - молярна маса; R - універсальна газова стала; CV - молярна теплоємність газу при сталому об’ємі
4		Робота газу при зміні його об’єму	p - тиск газу; V - об’єм газу
5		Робота газу в ізобарному процесі	V1 і V2 - початковий і кінцевий об’єм газу
6		Робота газу в ізотермічному процесі	р1 і р2 - початковий і кінцевий тиск газу
7		Робота газу в ізохорному процесі
1	2	3	4
8		Робота газу в адіабатному процесі	Т1 і Т2 - початкова і кінцева температура газу; γ - показник адіабати газу
9	Q=∆U+A	Перший закон термодинаміки	Q - кількість теплоти; ∆U - зміна внутрішньої енергії; А - робота проти зовнішніх сил
10		Теплоємність тіла	dQ - кількість теплоти; dT - збільшення температури тіла
11		Зв’язок між молярною і питомою теплоємністю	С - молярна теплоємність; с - питома теплоємність
12		Молярні теплоємності при сталому об’ємі та сталому тиску для ідеального газу	i - число ступенів свободи молекули; R - універсальна газова стала
13		Рівняння Майєра
14		Рівняння Пуассона для адіабатного процесу	γ - показник адіабати
15	або	Показник адіабати
16		Рівняння політропного процесу	- показник політропи

ЗАДАЧІ

1. За температури Т=480 К деякий газ масою m=25 кг займає об'єм V=0,8 м³. Пито­ма теплоємність газу с_р=519 Дж/(кг·К), а відношення молярних теплоємностей С_р/С_V=1,66. Визначити тиск р газу. (311,4 кПа)

2. Молярна маса деякого газу M=0,03 кг/моль. Відношення молярних теплоємностей С_р/С_V=1,4. Визначити питомі теплоємності с_р і с_V цього газу.(908,9 Дж/(кг·К); 649,2 Дж/(кг·К))

3. Деякий газ за тиску р=100 кПа і температури Т=400 К має питомий об'єм ν=0,8м³/кг. Питома теплоємність газу с_р=912,8 Дж/(кг·К). Визначити відношення γ= С_р/С_V. (1,4)

4. Суміш газів складається з метану СН₄ і азоту N₂. Масові частки метану і азоту ω₁=95% і ω₂=5%, відповідно. Обчислити питомі теплоємності с_р і с_V суміші газів. (1517,3 Дж/(кг·К); 2025,5 Дж/(кг·К))

5. Суміш газів складається із аргону, кількість речовини якого ν₁=3 кмоль, і азоту, кіль­кість речовини якого ν₂=2 кмоль. Визначити питому теплоємність с_р газової суміші. (685 Дж/(кг·К))

6. Продукти згоряння палива надходять до газоходу котла за температури газів t₁=120°С, а залишають газохід за температури t₂=800°С. До складу газу входять СO₂, об'ємна частка якого φ₁=11%, O₂ з φ₂=6%, Н₂O з φ₃=8% і N₂ з φ₄=75%. Визначити, яку кількість теплоти втрачає 1 м³ газової суміші, взятої за нормальних умов (р₀=10⁵ Па і Т₀=273 К). (1,3 МДж)

7. До радіатора водяного опалення по трубі діаметром d=25 мм надходить зі швидкістю υ=1,5 см/с вода за температури t₁=80°С, а виходить з батареї, маючи темпе­ратуру t₂=20°С. Скільки теплоти отримує протягом часу t=1 доба опалюване приміщення? (159,85 МДж)

8. Вода надходить до радіатора водяного опалення по трубі діаметром d=20 мм за температури t₁=85°С, а виходить, маючи температуру t₂=25°С. Протягом часу t=1 доба опалюване приміщення отримало Q=160 МДж теплоти. Визначити швидкість протікання води через батарею. (2,3 см/с)

9. Вода надходить до радіаторів водяного опалення за температури t₁=75°С, виходить з них при t₂=60°С. Через радіатори проходить об'єм V_в=20 л води. Початкова температура повітря в кімнаті t_к1=18°С, розміри кімнати 4 3 2,5 м³. Втрати теплоти через стіни, вікна й підлогу становлять η=50% усієї енергії. До якої температури нагріється повітря в кімнаті? (24,2°С)

10. Температура води, що пройшла через радіатор водяного опалення, знизилась на ∆t_в=20°С. У результаті повітря в кімнаті розмірами 5 4 3 м³ нагрілось від температури t₁=15°С до t₂=18°С. Втрати через стіни, вікна і підлогу становлять η=60%. Який об'єм гарячої води повинен пройти через радіатор? (12,4 л)

11. Змійовик бойлерної установки, що вміщує воду об'ємом V=15 л, обігрівається водяною парою за температури t_п=100°С. Вода, що витікає з кожуха, має температуру t_в=60°С. На вході змійовика вода має температуру t₁=10°С, а на виході t₂=50°С. Яка маса пари пропускається через кожух? (2,514 кг)

12. Гази, що виходять з котельної установки, проходять через підігрівник повітря. Початкова температура газів t_г=300°С, витрата газу становить m_г/t=1000 кг/год. Початкова температура повітря t_п=15°С, його витрата – m_п/t =910 кг/год. Втрати підігрітого повітря становлять η=4%. Питома теплоємність газу, що виходить з котла с_г=1046,7 Дж/(кг·К), а повітря – с_п=1004,8 Дж/(кг·К). Визначити температуру нагрітого повітря. (170,7°С)

13. Продукти згорання, що виходять з газоходу котла, масова витрата яких становить m/t=400 кг/год при температурі t₁=900°С, мають бути охолоджені до t₂=500°С і напрямлені до сушильної установки. Охолодження відбувається змішуванням газового потоку з потоком повітря температурою t_п=20°С. Тиски в обох газових потоках і теплоємності повітря і продуктів згоряння однакові. Визначити годинну масову витрату повітря. (400 кг/год)

14. Компресор повинен давати за час t=1 год об'єм V=50 м³ стиснутого повітря за тиску р=8,1·10⁵ Па. Компресор охолоджується проточною водою, так, що процес стискування можна вважати ізотермічним. Зовнішній тиск р₀=10⁵ Па. К.к.д. двигуна компресора η=60% Яку потужність повинен мати двигун? (39,2 Вт)

15. Водень масою m=0,04 кг знаходиться за температури Т₁=320 К. За рахунок нагрівання об'єм водню збільшується в п=2 рази за сталого тиску. Визначити роботу розширення газу А, зміну внутрішньої енергії ∆U газу і кількість теплоти Q, яку було надано газу. (53,18 Дж; 132,96 Дж; 186,14 Дж)

16. Балон об'ємом V=0,03 м³ наповнений киснем за температури Т₁=300 К і тиску р₁=200 кПа. Після нагрівання тиск у балоні збільшився до р₂=1000 кПа. Визначити температуру Т₂ кисню після нагрівання і кількість теплоти Q, яку було надано газу. (1500 К; 60 кДж)

17. Деякий газ масою т=1 кг знаходиться при температурі Т=300 К і тиску р₁=0,5 МПа. У результаті ізотермічного стиску тиск газу збільшився в п=2 рази. Робота, яка виконана за стиску газу, А =-432 кДж. Визначити молярну масу М газу і початковий питомий об'єм V₁/m газу. (0,004 кг/моль; 1,25 м³/кг)

18. Азот займає об'єм V₁=1 м³ і є під тиском р₁=200 кПа. Газ нагріли за сталого тиску до об'єму V₂=3 м³, а потім за сталого об'єму до тиску р₂=500 кПа. Визначити зміну внутрішньої енергії ∆U газу, виконану ним роботу А і кількість теплоти Q, яку передали газу. (3,25 МДж; 0,4 МДж; 3,65 МДж)

19. Кисень, маса якого т=0,064 кг, є за температури Т₁=200 К. У результаті ізохорного охолодження тиск газу зменшився в п=4 рази, а потім у результаті ізобарного розширення температура кисню почала дорівнювати початковій Т₁. Визначити роботу А, яку виконав газ і зміну внутрішньої енергії ∆U газу. (2493 Дж; 0)

20. Об'єм ν=5 моль ідеального газу, що знаходився за температури Т₁=273 К, під час ізотермічного розширення збільшився в п=5 разів. А після наступного ізохорного нагрівання тиск газу почав дорівнювати початковому. За весь процес газ отримав кількість теплоти Q=80 кДж. Визначити γ= С_р/С_V для цього газу. (1,4)

21. Автомобільна шина накачана до тиску р₁=220 кПа за температури t₁=І7°С. Під час руху вона нагрілась до температури t₂=57°С і тріснула. Зовнішній тиск повітря р_о=10⁵ Па. Вважаючи процес, що відбувається після пошкодження шини, адіабатним, визначити зміну температури повітря, що вийшло з неї. (76,2°С)

22. У чотиритактному двигуні дизеля бульдозерів та інших будівельних машин початковий об'єм повітря в камері V₁=10 л, а тиск р₁=1 атм. Атмосферне повітря надходить в камеру двигуна за температури t₁=І7°С і зазнає 10-кратного адіабатного стиснення. Визначити кінцевий тиск, температуру і роботу стискання. (2,5 МПа; 455,4°С; 15,0 кДж)

23. Початкова температура газової суміші в двигуні дизеля Т₁=350 К. Суміш займається за температури Т₂=1100 К. Показник адіабати для суміші γ=1,4. У скільки разів треба зменшити адіабатно об'єм суміші, щоб вона зайнялася? (17,5)

24. У карбюраторному двигуні внутрішнього згоряння газова суміш масою т=0,01 кг і молярною масою М=0,029 кг/моль за температури Т₁=500 К займає об'єм V₁=0,941·10^-3м³. У результаті адіабатного розширення температура суміші зменшилась до Т₂=280 К, а тиск – до р₂=200 кПа. Визначити γ=С_р/С_V для газу. (1,4)

25. Сірководень Н₂S масою т=5 кг, який займає об'єм V₁=3 м³ за температури Т₁=300 К, адіабатно стиснули так, що його тиск збільшився в п=2 рази. Визначити кінцевий об'єм V₂, температуру Т₂ і зміну внутрішньої енергії газу ∆U. Молярна маса сірководню М=0,034 кг/моль. (1,78 м³; 356 К; 205,3 кДж)

26. У двигуні дизеля бульдозерів атмосферне повітря надходить у камеру двигуна об'ємом V₁=0,8 л за температури t₁=17°С і тиску р₁=10⁵ Па. Перші два процеси циклу – це адіабатний стиск повітря до об'єму V₂=0,08 л і ізобаричне розширення до об'єму V₃=0,2 л. Визначити роботу А, яка виконана над повітрям, зміну його внутрішньої енергії ∆U і кількість теплоти Q, яка підведена до газу. (0,603 кДж; 0,452 кДж; 1,055 кДж)

27. У двигуні дизеля два останні процеси циклу – це адіабатне розширення, яке починається за об'єму повітря V₁=0,2 л і тиску р₁=25,5·10⁵ Па і закінчується при V₂=0,8 л, а потім – ізохоричний стиск, який закінчується за тиску р₃=10⁵ Па. Визначити роботу сил тиску повітря А, зміну його внутрішньої енергії ∆U і кількість теплоти Q. (535 Дж, -520 Дж, -1055 Дж)

28. Двоатомний ідеальний газ, який за тиску р₁=300 кПа займав об'єм V₁=4 л, спочатку розширюється адіабатно до об'єму V₂=6 л, а потім ізохорно його тиск знижується до р₂=100 кПа. Визначити виконану газом роботу А, зміну його внутрішньої енергії ∆U і кількість теплоти Q, яку отримає газ. (450 Дж; -1500 Дж; -1050 Дж)

29. У результаті адіабатного розширення тиск газу зменшується від р₁=300 кПа до р₂=150 кПа. Потім газ нагрівається за сталого об'єму до початкової температури, а тиск газу стає р₃=183 кПа. Визначити відношення γ= С_р/С_V для цього газу. (1,4)

30. Кисень, що має температуру Т₁=450 К і тиск р₁=520 кПа, спочатку розширяється адіабатно від об'єму V₁=0,02 м³ до об'єму V₂=0,04 м³, а потім ізобарно до об'єму V₃=0,06 м³. Визначити роботу А, яку виконав газ, зміну його внутрішньої енергії ∆U і кількість теплоти Q, яку отримав газ. (10,23 кДж; 5,53 кДж; 15,76 кДж)

31. У циліндрі під поршнем є водень масою т=0,04 кг за температури Т₁=310 К. Водень спочатку розширився адіабатно, збільшивши свій об'єм в п₁=4 рази, а потім був стиснутий ізотермічно, причому об'єм газу зменшився в п₂=4 рази. Визначити температуру Т₂ в кінці адіабатного розширення і роботу А, яку виконав газ під час цих процесів. (178 К; 13,84 кДж)