Розв’язування

а) Застосовуємо ознаку Даламбера:

.

Отримуємо, що ряд збігається при і розбігається при .

Тепер визначимо збіжність у граничних точках 1 і –1.

При х = 1: ряд збігається за ознакою Лейбніца.

При х = -1: ряд розбігається (гармонічний ряд).

Отже, радіус збіжності ряду

б) Знаходимо радіус збіжності

.

Отже, даний ряд збігається при будь-якому значенні х. Загальний член цього ряду прямує до нуля.

Приклад 21. Обчислити з точністю до 0,001: а) , б) число .

Розв’язування

а) Скористаємося формулою , при або . Маємо

Дістали ряд лейбніцевого типу. Оскільки

то з точністю до 0,001 маємо

б) Підставивши в ряд , знайдемо знакододатний ряд

Оцінимо п- й залишок цього ряду:

...=

=

Залишається підібрати найменше натуральне число п , щоб виконувалась нерівність

Неважко обчислити, що ця нерівність виконується при , тому з точністю до 0,001 маємо

Приклад 22. Розв’язати задачу фінансової математики.

а) Сума у розмірі 2000 гривень дана в якості позики на 6 місяців за схемою простого відсотка під 10% річних. Визначити відсотки і суму, яку потрібно повернути.

Розв’язування

Нарощена сума:

FV = PV (1 + М / 12 • i) = 2000 (1 + 6/12 • 0,1) = 2100 грн.

або

FV = PV • k_н = 2000 • 1,05 = 2100 грн.

Сума нарахованих відсотків:

I = PV • М / 12 • i = 2000 • 6/12 • 0,1 = 100 грн.

або

I = FV - PV = 2'100 - 2'000 = 100 руб.

Таким чином, через півроку необхідно повернути загальну суму у размірі 2100 гривень, з якої 2000 гривень складає борг, а відсотки – 100 гривень.

б) При відкритті рахунку зі ставкою 28% річних, 20 березня 1999 року була покладена сума у розмірі 1000 гривень, а 5 червня на рахунок була додана сума у 500 грн., 10 вересня було знято з рахунку суму у 750 грн., а 20 листопада рахунок було закрито. Використовуючи відсоткові числа визначити суму нарахованих відсотків при умові, що банк використовує "німецьку практику"

Розв’язування

Термін зберігання суми в 1000 грн. склав 46 днів, тоді

відсоткове число ₁ = (1000 • 46) / 100 = 460;

термін зберігання суми у розмірі 1500 грн. склав 66 днів, звідки

відсоткове число ₂ = (1500 • 66) / 100 = 990;

термін зберігання зменшеної до 750 грн. суми склав 70 днів:

відсоткове число ₃ = (750 • 70) / 100 = 525.

Дивізор = 360 / 28 = 12,857.

Отже, сума нарахованих відсотків за період дії ощадного рахунку складе:

I = (460 + 990 + 525) / 12,857 = 153,61 грн.

Можна перевірити правильність виконаних розрахунків, виходячи з суті відсотків:

I = 1000 • 46 / 360 • 0,28 + 1500 • 66 / 360 • 0,28 + 750 • 70 / 360 • 0,28 = =153,61 грн.

в) Фірма почала використовувати нову технологічну лінію вартістю 1 млн. 700 тис. грн., вартість якої буде зменшуватися кожного року на 150 тис. грн. Знайти значення вартості цієї технологічної лінії після п років. При вартості 200 тис. грн. технологічна лінія буде не придатною для виробництва. Коли це станеться?

Розв’язування

Згідно з умовою задачі вартість лінії з кожним роком зменшується на 150 тис. гривень, тому її вартість після першого, другого, третього років і далі буде:

1700-150, 1700-2 (150), 1700-3 (150), ... або 1550, 1400, 1250, ...

Ця послідовність значень вартості утворює арифметичну прогресію з Отже,

де вимірюється у тисячах гривень, п – кількість років.

Тепер необхідно знайти значення п, при якому

З рівності 200=1700-150п отримаємо

Отже, цю технологічну лінію можна використовувати 10 років.

г) Мадам Стоун у свою 59 річницю зробила внесок 120 000 доларів у страхову компанію, як ренту. Компанія страхування життя погодилася надавати мадам Стоун 6% щорічного прибутку з внеску і проводити щорічні виплати на протязі 15 років. Скільки коштів щорічно буде одержувати мадам Стоун з цього рахунку?