МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
Національний університет "Львівська політехніка"
Інститут підприємництва та перспективних технологій
Кафедра фундаментальної підготовки
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
до комплексної розрахункової роботи
з дисципліни "Вища математика, ч.2."
Львів – 2013
Приклад 8. Знайти неозначені інтеграли.
Розв’язування
а)
б)
;
в)
г)
Приклад 9. Обчислити означені інтеграли.
Розв’язування
а)
б)
Приклад 10. Розв’язати рівняння з відокремлюваними змінними:
а)
;
б)
.
Розв’язування
а)
;
;
;
;
– загальний інтеграл;
– загальний розв’язок.
б) Перетворимо задане рівняння:
;
;
;
.
Отримали
загальний інтеграл даного диференціального
рівняння. Якщо з цього співвідношення
виразити шукану функцію у, то
отримаємо загальний розв’язок.
Приклад 11. а) Розв’язати
однорідне рівняння:
.
Розв’язування
Введемо допоміжну функцію u.
.
Відмітимо, що введена нами функція u
завжди додатна, так як в протилежному
випадку втрачає зміст вихідне
диференціальне рівняння, яке містить
.
Підставляємо у вихідне рівняння:
Розділюємо змінні:
Інтегруючи, отримуємо:
Переходячи від допоміжної функції назад до функції у, отримуємо загальний розв’язок:
б) Розв’язати
рівняння
Розв’язування
Отримуємо
Знаходимо значення визначника
.
Розв’язуємо систему рівнянь:
Застосовуємо підстановку
у вихідне рівняння:
Замінюємо змінну
при підстановці у вираз, записаний вище,
маємо:
Розділяємо змінні:
Переходимо тепер до початкової функції у і змінної х.
Отже, вираз
є загальним інтегралом вихідного
диференціального рівняння.
в) Розв’язати рівняння
Розв’язування
Отримуємо
Знаходимо значення визначника
Застосовуємо підстановку
Підставляємо цей вираз у вихідне рівняння:
Розділяємо змінні:
Далі повертаємося до початкової функції у і змінної х.
Таким чином, ми отримали загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння.
Приклад 12. а) Розв’язати
лінійне диференціальне рівняння
Розв’язування
Спочатку приведемо дане рівняння до
стандартного вигляду:
Застосуємо формулу
,
де
тоді
– загальний розв’язок.
б) Розв’язати рівняння Бернуллі
Розв’язування
Розділивши рівняння на xy2:
Покладемо
.
Вважатимемо
Виконуючи зворотну підстановку, отримуємо:
в) Розв’язати лінійне
диференціальне рівняння
Розв’язування
У цьому рівнянні
Нехай
тоді
маємо
Доберемо функцію
так, щоб
тоді
Інтегруючи перше з цих рівнянь, дістаємо
Підставивши значення у друге рівняння, дістанемо
після чого знайдемо загальний розв’язок
Приклад 13. а) Розв’язати рівняння
в повних диференціалах
Розв’язування
Перевіримо умову тотальності:
Умова тотальності виконується, відповідно, вихідне диференціальне рівняння є рівнянням у повних диференціалах.
Визначаємо функцію u.
.
Отже,
Знаходимо загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння:
б) Розв’язати рівняння
Розв’язування
Маємо
Оскільки
,
то задане рівняння не є рівнянням у
повних диференціалах. Проте
тому рівняння має інтегрувальний
множник, який залежить лише від
Складаємо рівняння
і розв’язуємо його:
Візьмемо інтегрувальним множником
функцію
і помножимо обидві частини початкового
рівняння на цей множник. Отримаємо
рівняння у повних диференціалах
Розв’язуючи це рівняння (див. п. (а)), знайдемо, що загальний інтеграл заданого рівняння має вигляд
Приклад 14. Розв’язати диференціальне
рівняння виду
:
Розв’язування
Приклад 15. Розв’язати диференціальне
рівняння, яке допускає пониження порядку:
а)
;
б)
Розв’язування
а) Це рівняння виду:
Застосовуємо підстановку
Виконавши зворотну заміну, отримуємо:
Загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння:
Відмітимо, що це співвідношення є
розв’язком для усіх
значень змінної х крім значення
.
б) Це рівняння виду:
Заміна змінної:
1)
Для розв’язку отриманого
диференціального рівняння зробимо
заміну змінної:
З врахуванням того, що
,
отримуємо:
Загальний інтеграл має вигляд:
2)
Таким чином, отримали два загальних розв’язки.
Приклад 16. а) Розв’язати лінійне
однорідне диференціальне рівняння зі
сталими коефіцієнтами
.
Розв’язування
Складемо і розв’яжемо
характеристичне рівняння:
Загальний розв’язок має
вигляд:
б) Розв’язати лінійне однорідне
диференціальне рівняння зі змінними
коефіцієнтами
