2.2. Материалы итогового контроля
2.2.1. Основные вопросы к экзамену для студентов, обучающихся по специальности «Математика»
Счетные множества и их основные свойства. Примеры счетных множеств.
Эквивалентные множества и их признаки (теоремы Кантора – Бернштейна).
Понятие мощности множеств. Множества мощности континуума, гиперконтинуума, булеана.
Метрика. Метрическое пространство. Аксиомы метрического пространства.
Неравенство Коши-Буняковского.
Основные метрические пространства. Метрика в пространстве непрерывных на отрезке [a; b] функций:
Понятие окрестности точки х в метрических пространствах и их свойства.
Предельные, изолированные, граничные точки метрического пространства. Точка прикосновения данного множества.
Ограниченное, замкнутое, совершенное множества.
Внутренние точки множества. Открытые множества.
Плотные, всюду плотные, нигде не плотными множества.
Норма на линейном пространстве. Аксиомы нормы. Линейное нормиррованное пространство.
Нормы в основных метрических пространствах:
; ; ; ; ; ; ; ; ; .
Предел последовательности точек метрического пространства. Сходящаяся последовательность точек метрического пространства.
Фундаментальная последовательность точек метрического пространства.
Отображение одного метрического пространства в другое метрическое пространство.
Отображение непрерывное в точке. (Сформулируйте на языке “ ” и на “языке последовательностей”). Отображение непрерывное на множестве Х.
Полные метрические пространства.
Принцип неподвижной точки. Теорема Банаха.
Замкнутость, ограниченность.
Понятие связного множества.
Понятие элементарного множества.
Измеримые функции.
Интеграл Лебега. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.
Соотношения между понятиями интегрируемости и измеримости для ограниченной функции.
Гильбертово пространство.
Ряд Фурье.
2.2.2. Материалы тестовой системы для подготовки к зачету (для студентов, обучающихся по специальности «Информатика»)
В учебном пособии Н.П. Шаталовой «Кластер тестов по курсу «Теория функций действительного переменного» (Барнаул : БГПУ, 2007. – 64 с.) представлено 110 тестов для организации самостоятельной работы студентов третьего курса и проверки ЗУН и даны методические указания к использованию их в учебном процессе. В качестве примера здесь приведем лишь некоторые из них.
Тест 1.
Какие из функций являются метрикой на прямой.
Возможные ответы:
а)
б)
;
в)
г)
Тест 2.
Найдите
расстояние между функциями
и
в пространстве
.
Возможные ответы:
а) 4;
б) 5,25;
в) 5;
г) 0,75.
Тест 3.
Заполните пропуски в высказывании «если А \ В ~ В \ А, то ________».
Возможные ответы:
а) множество А не эквивалентно множеству В;
б) множество А равно множеству В;
в) множество А эквивалентно множеству В;
г) множество А превосходит множество В.
Тест 4.
Какие из подмножеств нигде не плотны на множестве действительных чисел.
Возможные ответы:
а) множество рациональных чисел;
б)
множество
;
в) отрезок [0; 4];
г) множество рациональных чисел принадлежащих отрезку [0; 5,1].
Тест 5.
Какое из подмножеств координатной плоскости связны.
а) множество точек, у которых обе координаты рациональны;
б)
круг
;
в) две касающиеся окружности с выколотой точкой касания;
г) множество точек, у которых ровно одна координата рациональна..
Тест 6.
Укажите
количество неподвижных точек заданного
отображения
числовой прямой в себя:
Возможные ответы:
а) нет;
б) ноль;
в) один;
г) два.
Тест 7.
Найдите
сумму координат неподвижной точки
заданного отображения
:
пространства
в себя, если:
Тест 8.
Найти
и
определить сходится ли последовательность
функций
к функции
в пространстве
.
Возможные ответы:
а)
;
нет;
б)
;
да;
в) 0; да;
г) 0; нет.
Тест 9.
Вычислите
интеграл Лебега от функции
заданной на отрезке
при
,
где
Возможные ответы:
а)
;
б) 0,25;
в) 1,5 ;
г)
.
Тест 10.
Вычислите
интегралы Лебега
,
если известно, что
,
где
Е - множество чисел отрезка F=[0; 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 5.
Возможные ответы:
а) -2, 4;
б) 22, 6;
в) 0,2;
г) 1.