13.2 Порогова інверсія
Порогове підсилення знаходьмо з рівняння:
(13.11)
яке виникає в результаті прирівнювання один одному модулів обох частин (13.10). Рівність (13.11) означає, що після повного циклу обходу резонатора амплітуда пучка співпадає з вихідним значенням. Використовуючи (13.10), його можна написати у вигляді:
(13.12)
Комплексна постійна поширення , яка приведена в 11 лек. (11.48), можна переписати так:
(13.13)
де
–
коефіцієнт, який враховує всі види
розподілених втрат. Лазерний перехід
описується доданками, що містить
i
.
У відповідності до (13.13) показник підсилення середовища визначається виразом:
(13.14)
Таким чином умова генерації приймає вид:
(13.15a)
або
(13.15б,)
де
–
порогове значення показника підсилення.
Використовуючи залежність
показника підсилення від величини
інверсної заселеності можна умову
(13.15)
перетворити в умову для
порогової густини інверсії
в центрі лінії.
(13.16а)
де
– ширина
лінії підсилення. Використовуючи вираз
для постійної часу релаксації поля в
резонаторі (середній час життя фотона
в резонаторі)
запишемо вираз (13.16)
у формі:
(13.16б)
Приклад.
Інверсія в He–Ne
лазері . Зробимо оцінку
порядку величини порогової інверсії
для наступних даних:
мкм,
Гц,
c
і
см.
Підставивши ці дані в формулу (13.16),
знаходимо, що
см-3.
В твердотільних лазерах
більш ширші лінії і більші часи спонтанного
розпаду приводить до значно вищого
значення порогової інверсії. Типове
значення порогової інверсії на рубіні
(
)
складає
см-3.
13.3.Частота генерації.
Частота генерації знаходиться
прирівнюванням фаз обох частин (13.10).
Отже набіг фази за повний обхід резонатора
рівний
,
де
– ціле число,
(13.17)
Резонансна частота “холодного”
резонатора, позначена індексом
знаходиться з (13.17)
підстановкою
(13.18)
Використовуючи цей вираз перепишемо (13.17) у вигляді:
(16.19)
З лекції 11 випливає, що
і з (13.14)
В зв’язку з цим (16.19) приймає вигляд:
(13.20)
Очікуючи, що
буде значно ближче до
,
ніж до
замінимо в (13.20)
на
Завдяки цьому
Порогове підсилення розраховується по
формулі (13.15), і тому
а
з врахуванням
(7.10):
(13.21)
де
–
ширина резонансної кривої холодного
резонатора. Якщо частота атомного
переходу
не співпадає з частотою резонатора
,
то частота генерації згідно (13.21) зсунута
від
в напрямку до
.
Це явище носить назву “затягування”
частоти. Здебільшого
і частота генерації близька до
.
Приклад. Затягування
частоти в He-Ne лазері. Скористаємося
наступними значеннями параметрів He-Ne
лазера, який працює на
мкм,
Гц,
По формулі (7.10)
Гц,
тому
Якщо
і
відрізняються на
Гц,
частота генерації затягнута на
Гц
від
.
Це малий, але для деяких застосувань
досить помітний ефект. На рис.13.2
відображено графічно затягування
частити.
Рис.13.2. Ефект затягування частоти генерації лазера. 1 – залежність фазової затримки для холодного резонатора (пунктирна пряма лінія), 2 – дисперсійна крива активного середовища при наявності накачування, 3 – контур підсилення активного середовища.