3.3. Решение задач конвективного теплообмена на основе теории подобия

Академик Гухман путем введения коэффициентов подобия решил эту задачу.

Определим условия подобия физических величин.

Физические явления подобны если:

1. Они одинаковы по своей физической природе (тепловому потоку подобен только тепловой поток).

2. Описываются одними и теми же уравнениями.

3. Протекают в геометрически подобных системах.

Условием геометрического подобия является пропорциональность координат

(3.8)

,

где С_l - константа подобия линейных размеров.

4. Кинематическое подобие предполагает в сходственных точках пропорциональность скоростей и ускорений

(3.9)

,

где С_w - константа подобия полей скоростей;

(3.10)

,

где С_j - константа подобия полей ускорений.

5. Динамическое подобие - подобие полей действующих сил

(3.11)

где С_р - константа подобия полей действующих сил.

6

. Условие теплового подобия - подобие полей температур и тепловых потоков

, (3.12)

где С_T - константа подобия полей температур;

, (3.13)

где С_q - константа подобия тепловых потоков.

Если хотя бы одно условие не выполняется, явления не подобны.

При использовании теории подобия, переходят к безразмерным коэффициентам.

3.4. Приведение системы дифференциальных уравнений к безразмерному виду

Предположим, что имеется два подобных явления, описываемые одними уравнениями. Следовательно, в системе

; (3.14)

(3.15)

;

• к

  онстанты подо- (3.16)

бия, входящие в данное уравнение.

Преобразуем (3.16) к следующему виду

(

3.17)

Заменим в уравнении (3.14) все элементы соотношениями (3.17), тогда:

; (3.18)

(3.19)

.

Если сопоставить (3.15) и (3.19) , то получим

. (3.20)

Соотношение (3.20) называют индикатором подобия.

У подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

В выражении (3.20), используя (3.16), сделаем обратную замену

. (3.21)

Оставим в левой части величины с двумя штрихами

(3.22)

где Nu - критерий или число Нуссельта.

Nu - это безразмерная величина, содержащая искомую величину коэффициента теплоотдачи. Эта величина для всех подобных явлений одинакова.

Из уравнения (3.5) получается:

число гомохромности (3.23)

критерий Фурье (3.24)

критерий Пекле (3.25)

Из уравнения (3.6) получается:

число гомохромности (3.26)

критерий Фруда (3.27)

критерий Эйлера (3.28)

критерий Рейнольдса (3.29)

Таким образом, система дифференциальных уравнений преобразована к семи критериям

Nu = f ( Ho, Fo, Pe, Eu, Fr, Re ) - эта взаимосвязь находится экспериментально.