§2. Основное свойство алгебраической дроби Памятка учащимся.

Вам известно, что значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Например:

(и числитель и знаменатель мы одновременно умножили на одно и то же число 4; значение дроби не изменилось);

(и числитель и знаменатель мы одно временно разделили на одно и то же число 11; значение дроби не определенном смысле обобщение обыкновенной дроби; над алгебраическими дробями можно осуществлять преобразования, аналогичные тем, которые мы только что указали для обыкновенных дробей. Эти преобразования можно описать так:

1. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби.

2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби, его называют сокращением алгебраической дроби.

Сформулированные правила представляют собой основное свойство алгебраической дроби. Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно дробь — заменить (если, конечно, в этом есть необходимость) дробью (числитель и знаменатель одновременно умножили на х - 2) или дробью (числитель и знаменатель одновременно умножили на 2х). Напротив, пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно заменить дробь более простой дробью — (числитель и знаменатель одновременно разделили на 2х, т. е. сократили дробь).

Пример. Преобразовать заданные дроби так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями:

Р е ш е н и е. а) Имеем:

Дроби приведены к одинаковому знаменателю (обычно говорят «к общему знаменателю»). Для этого пришлось числитель и знаменатель первой дроби умножить на дополнительный множитель 5, а числитель и знаменатель второй дроби — на дополнительный множитель 3; сделать это позволяет основное свойство дроби.

б) Имеем

Дроби приведены к общему знаменателю 12b³ с помощью дополнительных множителей соответственно 3b и 2. в) Имеем

Дроби приведены к общему знаменателю х² - у² с помощью дополнительных множителей соответственно х - у и х + у.

Приводя в этом примере алгебраические дроби к общему знаменателю, мы заменяли одну алгебраическую дробь другой дробью, тождественно равной первой. Однако если при сокращении дроби мы ее упрощаем, то в рассмотренном примере каждая дробь заменялась более сложной. Наверное у вас возник вопрос: а нужно ли такое «усложняющее» преобразование?

Оказывается, нужно, и в этом мы с вами скоро убедимся.

С основным свойством алгебраической дроби связаны правила изменения знаков у числителя и знаменателя. Так, имеет место равенство

здесь числитель и знаменатель первой дроби мы одновременно умножили на одно и то же число - 1.