Соотношение напряжений в главной и произвольной системах координат.
Рассмотрим
главную систему координат (
)
в точке 0 и произвольную систему координат
(
)
в этой же точке. Проведём плоскость,
перпендикулярную оси
,
и рассмотрим тетраэдр АВС0.
Как было показано на предыдущих лекциях, при стремлении объёма тетраэдра к нулю массовыми силами можно пренебречь в сравнении с поверхностными.
Применим принцип Д’Аламбера, согласно которому сумма всех сил, действующих на частицы тетраэдра, и сил инерции равна нулю. В проекции на ось 0y, отбрасывая слагаемые с массовыми силами, получим следующее уравнение:
(94)
Мы уже отмечали на прошлых лекциях, что
,
,
(95)
Подставим (95) в (94):
(96)
Повторив все выкладки для площадок АВС, перпендикулярных осям 0x и 0z:
(97)
(98)
Применим принцип Д’Аламбера к проецированию сил на ось 0х:
(99)
Произведём
сокращение на
:
(100)
Повторив все выкладки для площадок АВС, перпендикулярных осям 0x и 0z:
(101)
(102)
Вывод закона трения Стокса в произвольной системех координат.
Используем в уравнении (97) закон трения Стокса в главной системе координат – заменим нормальные напряжения их зависимостями от деформаций по уравнениям (36-38):
(103)
Уравнение (103) легко упрощается, если принять во внимание, что сумма квадратов косинусов (52-57) равна 1.
Кроме того, используем уравнение (74) и (93) и повторим всё для (96) и (98) :
(104)
(105)
(106)
Уравнения для касательных напряжений в произвольной системе координат получим, использовав уравнения (100-102) и (36-38):
(107)
Уравнение (107) легко упрощается, если принять во внимание, что сумма попарных произведений косинусов (46-51) равна нулю. Следует принять во внимание также уравнения (90), (91) и (92).
(108)
или, учитывая также уравнения (77-79) и (90-92) и повторив всё для (101) и (102):
(109)
(110)
(111)
Уравнения (104,105,106, 109,110,110) и есть закон трения Стокса в произвольной системе координат.
Конец лекции № 14