3. Вывод закона Стокса в произвольной системе координат.

Обратите внимание: закону трения Стокса в главной системе координат соответствуют три уравнения – зависимости нормальных напряжений от скоростей относительных линейных деформаций, три напряжения от трёх скоростей деформаций.

В произвольной системе координат в общем случае закон трения Стокса должен будет отображать зависимость уже шести напряжений от шести скоростей деформаций. Для того, чтобы получить закон трения Стокса в общем виде, достаточно в уравнениях (36-38) заменить координаты и величины в главной системе координат на аналогичные величины в произвольной системе координат. Иными словами, нам нужно иметь соотношения для координат, скоростей, напряжений, скоростей относительных линейных и угловых деформаций в системах координат, которые можно совместить простым поворотом осей координат.

Соотношения координат при повороте осей координат.

Обозначим направляющие косинусы главных осей координат следующим образом:

Тогда нужные нам соотношения можно записать так:

(39)

(40)

(41)

и

(42)

(43)

(44)

Учтём, что орты систем координат связаны соотношениями:

Свойства скалярного произведения позволяют получить несколько соотношений, которые потребуются нам чуть позже. Из равенств

(45)

следует: (46)

(47) (48)

(49)

(50) (51)

Из равенств

следует:

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

Маленький секрет. Как не перепутать индексы в этих простых и важных соотношениях ?

Я с самого начала нарисовал «шпаргалку», которой всё время пользовался, вот она:

(58)

Запомнить, как построена «шпаргалка», нетрудно, а как пользоваться ею, я показывал на своём примере. Далее она нам снова пригодится.

Соотношение скоростей в главной и произвольной системах координат.

Искомые соотношения можно получить из соотношений (39-44), используя определение скорости:

(59)

Дифференцируя соотношения (39-44) по времени, получаем:

(60)

(61)

(62)

и

(63)

(64)

(65)

Соотношение скоростей относительных линейных деформаций в главной и произвольной системах координат.

Прежде всего, отметим, что в главной системе координат угловые деформации отсутствуют, и, следовательно,

(66)

Напомним, что проекции скорости на оси координат являются сложными функциями независимых переменных и справедливо выражение:

(67)

(68)

(69)

Отметим, что

(70)

Продифференцируем уравнение (63) трижды: по , по и по :

(71)

(72)

(73)

Подставим в уравнение (67) выражения (71-73) :

(74)

Повторив предыдущие выкладки с уравнениями (64) и (65), получим:

(75)

(76)

Соотношение скоростей угловых деформаций в главной и произвольной системах координат.

На лекции № 5 мы познакомились с понятием скорости угловой деформации. В произвольной системе координат мы получили следующие выражения:

(77)

(78) (79)

Аналогично тому, как мы получили формулу (67), вычислим частную производную от по :

(80)

Продифференцируем уравнение (64) трижды: по , по и по с учётом (70):

(81)

(82)

(83)

Подставим в уравнение (80) выражения (70, 81-83) :

(84)

Повторим выкладки (80-84) для частной производной от по :

(85)

Дифференцируем уравнение (65) трижды: по , по и по с учётом (70):

(86)

(87)

(88)

Подставим в уравнение (85) выражения (70, 86-88) :

(89)

Подставим в уравнение (79) выражения из уравнений (84) и (89) :

(90)

И аналогично:

(91)

(92)

Отметим, что сложив уравнения (74-76) и используя равенства (52-54), имеем:

(93)