
- •Лекция № 14. Закон трения Стокса
- •1. Закон трения Стокса (обобщённый закон трения Ньютона).
- •2. Вывод закона Стокса в главной системе координат.
- •3. Вывод закона Стокса в произвольной системе координат.
- •Соотношения координат при повороте осей координат.
- •Соотношение напряжений в главной и произвольной системах координат.
- •Вывод закона трения Стокса в произвольной системех координат.
- •Конец лекции № 14
3. Вывод закона Стокса в произвольной системе координат.
Обратите внимание: закону трения Стокса в главной системе координат соответствуют три уравнения – зависимости нормальных напряжений от скоростей относительных линейных деформаций, три напряжения от трёх скоростей деформаций.
В произвольной системе координат в общем случае закон трения Стокса должен будет отображать зависимость уже шести напряжений от шести скоростей деформаций. Для того, чтобы получить закон трения Стокса в общем виде, достаточно в уравнениях (36-38) заменить координаты и величины в главной системе координат на аналогичные величины в произвольной системе координат. Иными словами, нам нужно иметь соотношения для координат, скоростей, напряжений, скоростей относительных линейных и угловых деформаций в системах координат, которые можно совместить простым поворотом осей координат.
Соотношения координат при повороте осей координат.
Обозначим направляющие косинусы главных осей координат следующим образом:
Тогда нужные нам соотношения можно записать так:
(39)
(40)
(41)
и
(42)
(43)
(44)
Учтём, что орты систем координат связаны соотношениями:
Свойства скалярного произведения позволяют получить несколько соотношений, которые потребуются нам чуть позже. Из равенств
(45)
следует:
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
Из равенств
следует:
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
Маленький секрет. Как не перепутать индексы в этих простых и важных соотношениях ?
Я с самого начала нарисовал «шпаргалку», которой всё время пользовался, вот она:
(58)
Запомнить, как построена «шпаргалка», нетрудно, а как пользоваться ею, я показывал на своём примере. Далее она нам снова пригодится.
Соотношение скоростей в главной и произвольной системах координат.
Искомые соотношения можно получить из соотношений (39-44), используя определение скорости:
(59)
Дифференцируя соотношения (39-44) по времени, получаем:
(60)
(61)
(62)
и
(63)
(64)
(65)
Соотношение скоростей относительных линейных деформаций в главной и произвольной системах координат.
Прежде всего, отметим, что в главной системе координат угловые деформации отсутствуют, и, следовательно,
(66)
Напомним, что проекции скорости на оси координат являются сложными функциями независимых переменных и справедливо выражение:
(67)
(68)
(69)
Отметим, что
(70)
Продифференцируем
уравнение (63) трижды: по
,
по
и по
:
(71)
(72)
(73)
Подставим в уравнение (67) выражения (71-73) :
(74)
Повторив предыдущие выкладки с уравнениями (64) и (65), получим:
(75)
(76)
Соотношение скоростей угловых деформаций в главной и произвольной системах координат.
На лекции № 5 мы познакомились с понятием скорости угловой деформации. В произвольной системе координат мы получили следующие выражения:
(77)
(78)
(79)
Аналогично
тому, как мы получили формулу (67), вычислим
частную производную от
по
:
(80)
Продифференцируем уравнение (64) трижды: по , по и по с учётом (70):
(81)
(82)
(83)
Подставим в уравнение (80) выражения (70, 81-83) :
(84)
Повторим
выкладки (80-84) для частной производной
от
по
:
(85)
Дифференцируем уравнение (65) трижды: по , по и по с учётом (70):
(86)
(87)
(88)
Подставим в уравнение (85) выражения (70, 86-88) :
(89)
Подставим в уравнение (79) выражения из уравнений (84) и (89) :
(90)
И аналогично:
(91)
(92)
Отметим, что сложив уравнения (74-76) и используя равенства (52-54), имеем:
(93)