Тема 5. Использование аналитических моделей вуправленческой деятельности

Модели аналитического типа используются в случае, когда истиной информацией о будущем состоянии процесса является сама модель.

На основе аналитической модели исследуются, как правило, общие тенденции развития анализируемых процессов. С помощью аналитических моделей обычно даются предварительные оценки границ и пропорций развития исследуемых процессов. Обрабатывается концептуальное предположение.

Оптимизационные модели

При планировании и прогнозировании часто используются оптимизационные модели, что обусловлено наличием общих черт в прогнозных и оптимальных разработках.

1. При планировании и прогнозировании учитываются цели развития процесса. К достижению своей цели процесс, как правило, стремится оптимальным путем.

2. В прогнозных и плановых разработках есть необходимость сравнивать различные варианты путем развития процессов и выбирать из них более рациональный.

3. В прогнозах и планах необходимо учитывать ограниченность ресурсов и возможности управления.

Таким образом, в плановых и прогнозных разработках на базе оптимизационных моделей принимается во внимание принцип альтернативности, в основе которого лежит необходимость сопоставления различных вариантов развития процесса.

В целом, разработка оптимизационных моделей заключается в следующих этапах:

1. Построение формализованной модели процесса.

2. Распределение показателей модели по ее составляющим.

3. Формирование ограничений.

4. Формирование критерия эффективности развития явления.

Разработка собственного варианта развития процесса осуществляется путем решения оптимизационной задачи при тех или иных заданных значениях ограничений и выбранных вариантов критериев эффективности его развития.

Экономико-математическая модель

Прямая задача

Обозначения:

i =1, 2, …, m – индекс вида ресурса

j=1, 2, …, n – индекс вида выпускаемой продукции

Экзогенные (известные до решения по модели) переменные:

а_ij – нормы затрат i-го ресурса на единицу j-й продукции;

b_i – наличие (лимит) i-го вида ресурса;

p_j – прибыль от реализации единицы j-го продукта.

Эндогенные (неизвестные) переменные:

x_j – объем выпуска j-го вида продукции.

О сновное ресурсное ограничение модели

i=1, 2, …, m.

Условие неотрицательности переменных

x_j  0, j=1, 2, …, n.

К ритерий оптимальности задачи

Двойственная задача

Обозначения:

Эндогенные переменные:

u_i – потенциальная прибыль от i-го вида ресурса (двойственная оценка ресурса)

Условие неотрицательности переменных

u_i  0, i=1, 2, …, m.

О сновное ограничение двойственной задачи

j=1, 2, …, n;

К ритерий оптимальности двойственной задачи

Правила совместной записи прямой и двойственной задач

Прямую и двойственную задачи нужно записывать и анализировать по сопряженным парам.

Прямая задача: Двойственная задача:

(1) u_i  0, i =1, 2, …, m (1^|)

x_j  0, (2) j=1, 2, …, n (2^|) (3) (3^|)

Рассмотрим пример.

Организация может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны нормы расхода ресурсов на единицу продукции, наличие каждого ресурса, а также прибыль от реализации единицы продукции (см. табл.3).

Таблица 3

Исходная информация для решения задачи

Вид	Единица	Норма	затрат	ресурса	на ед. прод	Наличие
ресурса	измерения	А	Б	В	Г	ресурса
Труд	чел.-час.	2	2	1	2	250
Материалы	кг	4	5	3	6	600
Оборудование	станко-час.	1	1	2	1	200
Прибыль	тыс.руб/ед.	5	3	4	2	-

Запишите прямую и двойственную задачи по сопряженным парам.

Прямая задача: Двойственная задача:

Задача решена симплексным методом.

Оптимальная производственная программа: x₁ =100 шт., x₃ = 50 шт.

Оптимальные двойственные оценки: u₁ = 2тыс.руб./чел.-час., u₂ = 0 тыс.руб./кг, u₃ = 1 тыс.руб./станко.-час.

Проверьте выполнение оптимальной теории двойственности по сопряженным парам: если одно условие в сопряженной паре закреплено (выполняется как строгое равенство), то другое – свободно (выполняется как строгое неравенство). Дайте экономическое обоснование основным ограничения задачи.

Проверьте выполнение сопряженной пары по критериям оптимальности: в оптимальном решении их значения совпадают. Дайте экономическое обоснование критериям оптимальности данной задачи.

Оптимизационные задачи (особенно динамические) обычно имеют большую размерность и решаются с помощью специальных программных продуктов. Важным моментом при этом является правильное формирование матрицы исходных данных. Каждой эндогенной переменной в матрице исходных данных отводится свой столбец. Каждому условию отводится своя строка.