3 . Задачи и упражнения

Задачи и упражнения

для самостоятельной работы

и работы в аудитории

1. Изобразите фигуру на плоскости, заданную уравнением:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

2. Определите вид кривой, заданной уравнением:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

3. Параметризуйте данную кривую:

1. 

2. 

3. ;

4. 

5. 

6. 

4. Составьте уравнение:

- прямой на плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

- плоскости, проходящей через точку параллельно вектору

- плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и ;

- плоскости, проходящей через точки , , ;

- фигуры, состоящей из точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек А и В постоянна;

- фигуры, состоящей из точек плоскости, расстояние от которых до точки А вдвое больше, чем до точки В;

- объединения фигур и , если фигура задана уравнением , а - уравнением

- пересечения фигур и , заданных соответственно уравнениями и

- множества точек плоскости, равноудаленных от точки и прямой ;

- эллипса, фокусы которого имеют координаты и большая ось равна 2.

5. Составьте параметрическое уравнение траектории точки М, если:

- точка равномерно вращается вокруг оси Z и равномерно движется параллельно ей;

- точка М движется из точки равномерно и прямолинейно со скоростью ;

- точка М является серединой отрезка длины l, который своими концами скользит по сторонам прямого угла;

- материальная точка М брошена с Земли под углом с начальной скоростью и движется под действием силы тяжеcти;

- точка М равномерно движется по прямой ОN, равномерно вращающейся вокруг точки О;

- точка М находитcя на окружности радиуса R, которая катится по прямой без скольжения.

6. Докажите равенства:

1. ;

2. ;

3. , тогда и только тогда, когда

4. 

5. 

7. Постройте на плоскости кривую, заданную уравнениями:

1. 

2. 

3. 

4. .

8. Дана кривая

Лежат ли на ее образе точки М(-1,-1), N(4,2), Р(1,2)? Найдите точки пересечения образа кривой с координатными осями. Запишите неявное уравнение образа кривой.

9. Постройте образы следующих кривых:

1. 

2. 

3. 

4. ;

5. 

6. ;

7. 

8. 

10. Покажите, что уравнения

и

являются параметризациями одной и той же линии. Сделайте рисунок этой линии.

11. Укажите, какие линии задаются в полярных координатах следующими уравнениями:

1)

2)

4)

6)

8)

10)

12. Постройте геометрические образы данных кривых и найдите соответствующие параметризации:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

13. Найдите производные следующих функций одной действительной переменной t:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

14. Для вектор-функции найдите значение , при котором отображение переводит число 2 в вектор (4, 8, 2).

15. Можно ли утверждать, что для вектор-функции имеют место равенства:

а)

ІІ. РЕГУЛЯРНЫЕ КРИВЫЕ.

КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВОЙ