Сводка замечательных кривых
Парабола Нейля (полукубическая парабола):
.Локон Аньези
Конхоида Никомеда
Циссоида Диоклиса
Лемниската Бернули
.Овалы Кассини
.Строфоида
.Крест
.Кардиоида
.Трисектриса
.Астроида
.Декартов лист
.Улитка Паскаля
.Цепная линия
.Спираль Архимеда
.Параболическая спираль
.Логарифмическая спираль
.Циклоида
.Эпициклоида
;
Индивидуальное задание
Исследуйте кривую .
Укажите естественную область определения кривой.
Является ли кривая регулярной? Укажите особые точки кривой, если они имеются.
С помощью замены параметра или преобразования системы координат упростите уравнение кривой, если это возможно.
Найдите или оцените длину данной кривой или ее какого-то куска.
Является ли параметр на кривой натуральным? Перейдите к натуральному параметру, если это возможно.
Составьте уравнение касательной, главной нормали, бинормали, соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей в точке кривой, соответствующей ( выбрать самостоятельно).
Вычислите кривизну и кручение кривой.
Проверьте, является ли кривая:
а) прямой;
б) окружностью;
в) плоской кривой;
г) винтовой линией?
Варианты
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Пример выполнения варианта индивидуального задания
Исследуйте кривую
«Естественная» область определения кривой
.
2. Регулярность:
а)
;
б)
.
Вывод:
кривая регулярна во всей области
определения, порядок регулярности
.
3. Упростим уравнение кривой путем параллельного переноса:
В результате получим уравнение кривой:
.
4. Найдем или оценим длину куска данной кривой:
.
5. Является ли параметр на кривой натуральным?
,
следовательно, t
– не натуральный параметр.
Переход к натуральному параметру затруднен.
6. Составим уравнения элементов трехгранника Френе в точке (2;1;0),
т.е. t=0.
;
;
;
.
-
уравнение касательной;
-
уравнение бинормали;
-
уравнение главной нормали.
-
соприкасающаяся плоскость;
-
нормальная плоскость;
;
-
спрямляющая плоскость.
7. Вычислим кривизну и кручение кривой по формулам:
;
.
;
;
;
.
.
-
кривизна кривой.
.
.
-
кручение кривой.
8. Воспользуемся классификацией кривых. С помощью основной теоремы теории кривых и геометрических свойств кривизны и кручения легко показать, что данная кривая является линией откоса.
Пример варианта контрольной работы
1. Какой геометрический смысл модуля кривизны кривой?
А) мера ее отклонения от касательной;
Б) мера ее отклонения от соприкасающейся плоскости;
В) число, обратное радиусу кривизны;
Г) другое.
2. Изменяется ли при регулярной замене параметризации регулярной кривой вектор ускорения?
А) не изменяется;
Б) может измениться направление;
В) может измениться его модуль;
Г) может измениться и направление, и модуль.
3.
Уравнение кривой имеет вид
,
где
постоянные
неколлинеарные векторы. Эта кривая:
А) окружность;
Б) парабола;
В) имеет нулевое кручение;
Г) имеет ненулевое кручение.
4.
Кривая определена вектор-функцией
– натуральный параметр. Чему равна
?
А) 2;
Б) 0;
В) 1;
Г) -1.
5.
Кривизна и кручение кривой равны
соответственно
.
Кривая
может быть
А) окружностью;
Б) винтовой линией;
В) линией откоса;
Г) кривой Бертрана.
6.
Длина кривой
А)
Б)
В)
Г) бесконечная.
7.
Кривая с натуральными уравнениями
является
А) окружностью радиуса 2;
Б) винтовой линией;
В)
окружностью радиуса
;
Г) прямой.
8.
Для гиперболы
параметрическими уравнениями являются
А)
Б)
В)
Г)
Исследуйте кривую:
а) Укажите естественную область определения кривой;
б) Является ли кривая регулярной? Укажите особые точки кривой, если они имеются;
в) Упростите уравнение кривой с помощью замены параметра или преобразования системы координат, если это возможно;
г) Найдите или оцените длину данной кривой или ее какого-то куска;
д) Является ли параметр на кривой натуральным? Перейдите к натуральному параметру.
е) Составьте уравнения элементов трехгранника Френе в точке (точку выбирать самостоятельно);
ж) Вычислите кривизну и кручение кривой.