Предисловие

Уважаемый студент! Вы получили РАБОЧУЮ ТЕТРАДЬ курса «Дифференциальная геометрия», в которой рассматривается «Теория кривых». С этой тетрадью Вы будете работать на практических занятиях в аудитории и дома, выполняя самостоятельную работу и готовясь к аудиторным занятиям. Она будет Вашим надежным помощником в усвоении нового материала, его закреплении и систематизации, а также при подготовке к выполнению контрольных, модульных и индивидуальных работ и сдачи экзамена.

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ содержит 7 практических занятий, каждое из которых состоит из трех разделов:

1. Составляем опорный конспект. (В этом разделе необходимо заполнить пропуски, пользуясь лекционным материалом и рекомендуемой литературой)

2. Контрольные вопросы. (В этом разделе необходимо записать ответы на вопросы в имеющиеся пропуски)

3. Задачи и упражнения. (В этом разделе необходимо решать задачи и выполнять

упражнения в аудитории и самостоятельно)

Целью курса «Дифференциальной геометрии» раздела «Теория кривых» является: изучение кривых с помощью исследования их локальных свойств и классификация кривых на основе инвариантов.

Студент должен знать: способы задания кривых, теоремы о представлении кривой в окрестности обыкновенной точки, основные теоремы теории, понятия репера Френе, формулы Френе, классификация кривых на основе инвариантов, типы особых точек плоских аналитических кривых, эволюту и эвольвенту плоских кривых.

Студенты должны уметь: задавать кривую неявно и параметрически находить длины кривых и переходить к натуральной параметризации кривой, вычислять кривизну и кручение пространственной кривой, определять уравнения репера Френе, исследовать центры соприкасающейся окружности и соприкасающейся сферы пространственной кривой.

П роверяем готовность к изучению темы

Для изучения дифференциальной геометрии необходимо владеть методом координат, векторной алгеброй, математическим анализом. Далее приводятся вопросы, позволяющие проконтролировать готовность студентов к изучению дифференциальной геометрии.

Контрольный тест

1. Является ли уравнение уравнением прямой, содержащей биссектрису первого координатного угла?

2. Является ли уравнение уравнением прямой?

3. Верно ли, что линейное уравнение с двумя переменными

всегда является уравнением некоторой прямой?

4. Можно ли задать уравнением с двумя переменными фигуру, состоящую из точки?

5. Принадлежит ли точка прямой ?

6. Верно ли, что следующие системы уравнений с тремя переменными определяют одну и ту же линию:

7. Равны ли векторы и , если ?

8. Равны ли векторы и , если для любого вектора ?

9. Верно ли, что векторы и линейно независимы, если ?

10. Существуют ли векторы, для которых ?

11. Верно ли равенство ?

12. Может ли система линейных уравнений с 3 переменными иметь ровно два решения?

13. Компланарны ли векторы ?

14. Верно ли, что всякая монотонная функция имеет обратную?

15. Может ли немонотонная функция иметь обратную?

16. Может ли чётная функция иметь обратную?

17. Является ли движение точки по прямой равномерным, если закон движения имеет вид ?

18. Существует ли касательная в каждой точке графика функции

?

19. Всякая ли непрерывная функция дифференцируема?

20. Касаются ли друг друга в точке графики функций и ?

21. Верно ли, что наибольшее и наименьшее значения функция обязательно принимает в точках экстремума?

22. Известно, что . Следует ли отсюда,

что на промежутке ?

23. Верно ли, что , если для всех t?

24. Изменилось ли положение материальной точки за промежуток времени , если (где - скорость движения точки)?

25. Верно ли неравенство ?

І. ПОНЯТИЕ КРИВОЙ И СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ.

ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА