1.3. Метод Рунге практической оценки погрешности

Рассмотрим метод повышения порядка точности квадратурной формулы. Этот метод называется методом Рунге или методом двойного пересчета. Пусть - точное значение интеграла, а - приближенное значение интеграла, соответствующее шагу разбиения отрезка . Пусть остаточный член квадратурной формулы. Проведем расчеты на двух равномерных сетках с шагами и , и потребуем, чтобы погрешность их линейной комбинации

была величиной более высокого порядка по сравнению с и . Имеем

Потребуем, чтобы . Отсюда . Тогда и .

Пусть теперь . Тогда . На практике полученная формула заменяется приближенной:

,

где для метода средних прямоугольников и трапеций, для методов левых и правых прямоугольников и для метода Симпсона.

1.4. Выполнение лабораторной работы по численному интегрированию в среде MathCad

Целью данной работы является ознакомление студента с основными методами численного интегрирования, выработка навыков решения простейших задач, знакомство с основными функциями среды MathCad.

Разберем порядок выполнения данной работы. Работа состоит из двух заданий. В первом задании требуется найти приближенное значение интеграла с заданным шагом сетки одним из предлагаемых студенту методов. Требуется так же оценить погрешность. Это задание выполняется студентом вручную дома. Второе задание – это нахождение приближенного значения интеграла с заданной точностью . Задание выполняется в компьютерном классе с использованием среды MathCad. Рассмотрим пример. Пусть дан интеграл

.

Требуется найти его приближенное значение по формуле средних прямоугольников с шагом и оценить погрешность по методу Рунге.

Решение. Имеем

.

Для оценки погрешности найдем приближенное значение интеграла с шагом :

Следовательно,

.

Второе задание лабораторной работы состоит в нахождении приближенного значения интеграла с заданной точностью. Соответствующий этому заданию документ MathCad приведен в листинге 1.1.

Листинг 1.1. Численное интегрирование

Глава 2. Численные методы решения задачи коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка состоит в отыскании решения уравнения

, (2.1)

удовлетворяющего начальному условию

(2.2)

Разобьем отрезок , на котором ищем решение, на равных интервалов с шагом . Получим следующие точки деления: . При решении задачи Коши численным методом для любого определим приближенно , . Величина погрешности этих значений, т.е. разность между точным решением и приближенным в соответствующих точках, определяет погрешность метода. В данной главе мы рассмотрим различные методы численного решения задачи Коши.

2.1. Метод Эйлера

Пусть известно значение и требуется вычислить значение . Рассмотрим равенство:

. (2.3)

Как было показано в главе 1, при замене интеграла в правой части на погрешность имеет порядок . Таким образом,

.

Поскольку , то мы получаем

.

Отбрасывая член порядка , и обозначая , получаем формулу Эйлера:

.