Метод Ньютона
Пусть дана система
нелинейных уравнений
.
Предположим, что найдено
-ое
приближение
одного из изолированных решений
системы. Тогда точное решение
можно представить в виде
,
где
- погрешность корня. Следовательно,
.
Предположим, что
функции
дифференцируемы в некоторой выпуклой
области
.
Тогда для
,
по формуле Тейлора, получим
,
где
- остаточный член формулы Тейлора.
Отбрасывая остаточные члены, получим
.
Если матрица
не вырождена, то, из последнего равенства
находим
.
Поэтому,
Метод нахождения
решения
как предел последовательности
,
называется методом Ньютона. В практических
вычислениях в качестве условия окончания
итераций обычно используется критерий
,
где
- заданная точность.
Пример. Методом Ньютона найти положительное решение системы
Решение.
Для выбора начального приближения
применяем графический способ. Построим
в интересующей нас области кривые
,
(рис. 4.1). Из приведенного рисунка видно,
что положительное решение находится в
квадрате
.
В качестве начального приближения
примем
.
Рис. 4.1. Определение начального приближения
В данном примере
.
Следовательно,
.
В листинге 4.2. приведен документ MathCad,
в котором реализован метод Ньютона.
Листинг 4.2. Метод Ньютона
Литература
Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z – преобразования.- Наука, 1971;
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – Наука, 1966;
Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука 1978;
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
Содержание
ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1. Z – преобразование и его применение
Преобразование Лорана и его свойства
Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами и систем уравнений с помощью z – преобразования
Глава 2. Выполнение лабораторной работы по z - преобразованию в среде mathcad
Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием среды MathCad
Решение систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием среды MathCad
Глава 3. Уравнение с одним неизвестным и методы его численного решения
3.1. Метод дихотомии
3.2. Метод простой итерации решения одного нелинейного уравнения с одним неизвестным