§15. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
Поле стационарно, если оно не зависит явно от времени, т.е.
Уравнения Максвелла в этом случаем принимают вид:
+ связи:
В электростатике используются (1) и (3) уравнения, а в магнитостатике (2) и (4).
Связь полей с потенциалами:
§16. Уравнения Пуассона в электростатике.
К электростатике относятся уравнения:
Причём второе уравнение автоматически
удовлетворяет условию:
Выразим и через потенциал:
Распишем в компонентах:
Мы получили уравнение Пуассона в электростатике.
Если среда неоднородная, тогда
и мы не можем тензор
выносить за знак
,
тогда:
Если среда однородная, то
, т.е.
от координат не зависит и тогда:
Если среда анизотропная, то в тензоре возникают несколько слагаемых:
а) Однородная изотропная среда:
Тогда
б) Однородная анизотропная среда:
§17. Краевые, граничные условия. Задачи Дирихле и Неймана.
Уравнение
Пуассона иногда решают в граничных
условиях. Задаются краевые граничные
условия типа Дирихле или типа Неймана.
В задаче Дирихле задаётся потенциал:
- краевое условие Дирихле.
В задаче Неймана задается :
-
краевое условие Неймана.
и
- заданные нами функции.
Они задаются для уравнения Пуассона в электростатике.
В случае изотропных сред:
В случае задачи Неймана для изотропных сред:
§18. Функция Грина задач электростатики.
Общее решение уравнения Пуассона
состоит
из общего решения соответствующего
однородного уравнения -
и частного решения неоднородного -
На лежит нагрузка удовлетворения граничным условиям, удовлетворяет однородным граничным условиям:
Рассмотрим
.
Далее будем писать
без индекса, т.е.
.
Введём некоторый интегральный оператор
и
Если
,
то
- ядро интегрального оператора
,
т. е.
- функция Грина.
Пусть
-
единичный оператор, т.е.
,
тогда:
-ядро
единичного оператора, это и есть
Итак, на языке ядер выглядит следующим образом:
,
есть функция Грина задач электростатики.
определяется характером граничных условий.
1.
-
частное решение, удовлетворяющее
однородному граничному условию Дирихле.
тогда из того, что
2.
- граничное условие Неймана
В обоих случаях
и
Для
§19. Физический смысл функции Грина.
Из равенства видно, что при помощи получаем:
т.е. точечный заряд источник потенциала - функции Грина.
Сравним левые части выражений:
С
ледовательно
-
потенциал, создаваемый в точке
порождённый
точечным зарядом с
.
,
здесь
- точка, где находится источник, а функция
Грина является функцией источника.
Функция Грина – это потенциал в точке
,
создаваемый зарядом
,
помещённым в точку
.
В этом заключается физический смысл
функции Грина.
-
потенциал, создаваемый в точке
элементарным
зарядом
,
помещённым в точку
.
Значит
