§1. Плотность заряда и её вид в случае системы точечных зарядов.
Рассмотрим систему из точеченого заряда
З
десь
возникает необходимость использовать
-функцию.
Тогда
.
Это соответствует случаю, когда заряд
помещён в начало координат, а плотность
заряда ищется в точке, с радиус-вектором
.
Если же заряд помещён не в начало отсчёта, то плотность заряда перепишется в следующем виде:
В случае системы точечных зарядов имеем:
Нужно отметить, что всегда для изображения плотности точечного источника используется -функция.
§2. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
Будем использовать гауссову систему.
и
являются
источниками поля. Уравнения Максвелла
позволяют по заданным источникам
рассчитать электромагнитное поле.
Уравнениям Максвелла в дифференциальной
форме ставятся в соответствие уравнения
в интегральной форме.
§3. Закон сохранения заряда в форме уравнения непрерывности.
Запишем уравнение Максвелла:
.
Подействуем на него оператором
скалярно.
Получаем:
Но дивергенция всякого ротора равна нулю, поэтому в результате получаем:
- уравнение непрерывности
Проинтегрируем обе части этого уравнения по некоторому объёму:
,
где
-единичный
вектор нормали
определяет
количество заряда выносимого через
поверхность объёма. Если
-
острый, то заряд выносится из объёма и
-положителен.
Если
тупой,
то заряд приходит в объём и
-
имеет знак минус.
§4. Теорема Остроградского-Гаусса.
Перейдём к тензорам второго ранга
.
Получим:
(
- скалярная функция), тогда:
В результате получаем:
-
более общая модификация теоремы
Остроградского-Гаусса.
§5. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
Удобно ввести:
-векторный
потенциал
-скалярный потенциал
однозначно
определяют электромагнитное поле
§6. Градиентная инвариантность.
Существует преобразование, которое не
меняет полевых характеристик
.
Таким преобразованием является
градиентное:
Здесь
– произвольная функция координат и
времени
-инвариантность
полевых характеристик
относительно градиентных преобразований.
Аналогично для
:
На потенциалы
могут быть наложены произвольные,
удобные для исследования ограничения
– калибровки потенциалов, т.к.
- произвольная.
§7. Типы калибровок.
Перепишем уравнения Максвелла:
(B)
1.Калибровка Лоренца
Тогда уравнение (А) перепишется в следующем виде:
- уравнение Даламбера
Это уравнение есть – неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных.
- оператор гиперболического типа.
Для уравнения (В) имеем:
Все, имеющие физический смысл, результаты должны быть градиентно-инвариантными:
В силу калибровки Лоренца получаем:
Т.е. функция должна удовлетворять однородному уравнению Даламбера (его ещё называют волновым уравнением)
2.Калибровка Кулона
- калибровка Кулона
Уравнение (А) перепишется в следующем виде:
-
уравнение Пуассона.
Если же
(в
пустоте), то уравнение Пуассона принимает
вид:
-уравнение
Лапласа.
получаем, что функция
должна
удовлетворять уравнению:
3.Калибровка поперечных волн
Полагаем
есть функция только координат.
Значит функция должна удовлетворять уравнению:
