§55. Поперечные и продольные нормальные волны в среде.

Поперечность и продольность связываются с векторами распространения волны , где , т.е. среда без ферромагнитных свойств.

В неограниченном пространстве для установления поперечности и продольности достаточно установить связь между векторами .

П

усть есть единичный вектор , сонаправленный волновому вектору . Введём единичный вектор , ортогональный вектору

Тогда разбивается на две составляющие:

- продольная составляющая

- поперечная составляющая

Составляющая вектора вдоль волнового вектора поля :

В компонентах:

- этот тензор выделяет нормальную составляющую поля .

Тангенциальная составляющая поля :

В компонентах:

-этот тензор выделяет тангенциальную (поперечную) составляющую .

- тензорное (матричное) соотношение.

Свойство тензоров :

это свойства операторов проектирования. В компонентах:

Решение дисперсионного уравнения приводит к поперечным или к продольным волнам. Эти решения получаются при разных условиях:

1. при

2. при

где - детерминант диэлектрических проницаемостей.

§56. Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией.

Мы будем рассматривать среды обладающие центром симметрии, т.е. проводить инверсию относительно точки – это упрощает запись тензора . Тензор может быть разложен на два независимых тензора :

Можно показать, что . Тогда продольные волны могут существовать при . А поперечные волны могут существовать при и .

Если рассчитать для выражение , то получается уравнение Френеля:

Получаем два корня данного уравнения: и , которые мы берём по абсолютному значению, т.е. в кристалле распространяются две поперечные волны.

В случае решение уравнения может быть упрощено:

Тогда для поперечной составляющей:

для продольной ( ):

Тогда из

получаем

Здесь два одинаковых решения, т.к. среда изотропная.

Уравнение (***) трансцендентное, оно решается методом последовательных приближений. В нулевом приближении можно взять .

§57. Групповая скорость.

Фазовая скорость – это скорость распространения фронта волны. Если сигнал обрывается на каком-то моменте времени, то теряем монохроматичность. Тогда мы можем говорить о спектре частот, с несущей частотой и с разбросом частот .

Спектральную характеристику такого сигнала можно представить следующим образом:

Учитывая дисперсию среды (зависимость свойств среды от частоты), получаем искажение сигнала при прохождении среды. Каждая частота распространяется со своей скоростью в среде. Мы будем следить за распространением максимальной амплитуды.

, где фаза

Зависимость означает дисперсию среды. Разложим в ряд:

- такое разложение означает сильную дисперсию. Заметим, что . Разложим фазу в ряд по до линейных слагаемых:

Считаем, что на краях интервала сигнал спадает достаточно быстро:

,

где , а . Тогда

При имеем максимум амплитуды. Скорость перемещения максимума амплитуды находим из условия

Тогда групповая скорость:

Фазовая скорость:

Групповая скорость – это скорость распространения сигнала. Найдём связь групповой и фазовой скорости: