
- •Уравнения Максвелла. Потенциалы
- •Градиентная инвариантность
- •Калибровки
- •Функция Грина. Интеграл свертки
- •Функция Грина уравнения Пуассона
- •Функция Грина волнового уравнения
- •Запаздывающие потенциалы
- •Уравнения Максвелла для электромагнитных волн
- •Плоские волны
- •Плотность потока энергии
- •Теорема Пойнтинга
- •Теорема взаимности
- •Основные понятия макроэлектродинамики
- •Линейные и нелинейные среды
- •Граничные условия
- •Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде с учетом пространственно-временной дисперсии
- •Соотношения Линдхарда
- •Нормальные волны
- •Неоднородные среды
- •Диэлектрический эллипсоид
- •Симметрия кристаллов
- •Электромагнитные волны в немагнитных анизотропных средах
- •Влияние стационарного электрического поля на оптические свойства кристаллов
- •Применение эффекта Поккельса
- •Литература
Теорема Пойнтинга
Умножив уравнения
скалярно на Е и Н соответственно, найдем:
Вычтя из второго уравнения первое, получим:
|
(15) |
Учтем,
что
Тогда
Переставив векторы в смешанном произведении, получим:
где
штрихом обозначен вектор, на который
действует оператор
.
С учетом
из(15) получим:
|
(16)
|
Последнее
слагаемое в (16) представляет собой закон
Джоуля- Ленца (используя дифференциальный
закон Ома, его можно свести к виду
).
Теорема взаимности
Пусть имеются два источника (на рис.5 изображены линии тока). Запишем по паре уравнений Максвелла для каждого из них:
рис 5
Скалярно умножив первое уравнение на
Н2, а третье - на Е1, и вычтя одно из другого, найдем:
Для второй пары уравнений Максвелла (она получается заменой индексов 1 на 2 и 2 на 1), проделав то же самое, получим:
Здесь левые части уравнений представлены так же, как в § 11.
Для монохроматического
поля (пропорционального
)
заменой
получим:
Вычтем из первого уравнения второе:
Применив теорему Гаусса, найдем:
Интеграл в левой части стремится к нулю на бесконечности вследствие естественных потерь энергии. Поэтому будем считать, что поле на границе отсутствует. Это дает:
Учтя связь
и выбрав j в виде
приведем теорему взаимности к виду
Основные понятия макроэлектродинамики
Объектом исследований макроскопической электродинамики являются электромагнитные поля в пространстве, заполненном веществом. Макроэлектродинамика оперирует усредненными величинами, не интересуясь микроскопическими флуктуациями этих величин, связанными с молекулярным строением вещества.
Рассмотрим модель сплошной среды. При переходе от реальной среды к сплошной должны сохраняться макроскопические условия:
всевозможные граничные условия;
геометрия среды;
внешние источники поля.
Усреднение можно производить либо по объему и времени, либо статистически (по ансамблю).
Статистическое усреднение, в отличие от усреднения по объему и
времени,
всегда коммутативно с операторами
и
. При этом целесообразно ввести параметр
неоднородности поля - расстояние, на
котором поле изменяется существенно.
Обозначим индексом “м” точные микроскопические значения полей Е и Н, потенциалов А и , а также плотности всех зарядов и
всех токов j:
Уравнения
поля в сплошной среде получаются
усреднением уравнений (1)
для электромагнитного поля в вакууме,
где вместо
и j
стоят
и
:
|
(17)
|
Произведем усреднение этих уравнений (<..> - усреднение по ансамблю), причем
Тогда из (17) получим:
Далее с учетом коммутативности различных операторов и операции усреднения, запишем:
|
(18) |
Здесь р и j не усредняются, так как входят в макроскопические условия и не являются статистическими параметрами.
Определим связанные источники:
Р и М - электрическая и магнитная поляризации.
Определим поля D и Н:
Тогда (18) перепишем в виде
|
(19) |
Для первого и последнего уравнений (19) получим:
Окончательно запишем:
|
(20) |
Для полноты системы уравнений (20) необходимы уравнения связи:
Здесь
-
тензоры второго ранга материальных
характеристик среды.