7. Запаздывающие потенциалы

Частные решения этих уравнений, полученные с помощью запаз­дывающей функции Грина, называются запаздывающими потенциала­ми. Для них (см. § 4) имеем:

(11)

Разложим потенциалы (И) в ряды по малому параметру. На рис.4

- оператор трансляции.

Тогда можно представить подынтегральные выражения в виде

(12)

где

Подставив (12) в (11), получим:

где = const;

Для калибровки Лоренца (6) получим:

Возьмем п = 0:

Докажем, что

Уравнение непрерывности:

(правило суммирования Эйнштейна).

Первый интеграл равен нулю в силу теоремы Гаусса

так как на поверхности токи равны нулю. Далее

Тогда

Подставим найденные значения для потенциалов в уравнение для ка­либровки Лоренца первого порядка

Мы убеждаемся, что в этом порядке калибровка выполняется.

8. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн

Электромагнитная волна - это поле, которое может существовать в вакууме в отсутствие источников.

Уравнения Максвелла (1) для этого случая имеют вид:

Исключив из двух последних уравнений Е , получим:

С учетом того, что , найдем:

или - волновое уравнение для Н. Аналогично для Е: .

9. Плоские волны

Фронт волны - поверхность равных фаз.

Если фронт волны имеет вид плоскости, то она называется плоской.

- фронт волны;

- фазовая скорость, определяющая скорость движения фронта волны.

Рассмотрим случай электромагнитной волны, которая распростра­няется вдоль оси х: .

Обозначим через/любую компоненту векторов Е или Н , однако учтем, что:

Из волнового уравнения следует, что:

Но отличная от нуля компонента Е_х означала бы наличие продольного электрического поля. Поскольку такое поле не имеет отношения к элек­тромагнитной волне в вакууме, то можно положить Е_х = 0.

Волновое уравнение перепишем в виде

(13)

Введем новые переменные:

Тогда

и уравнение (13) для /принимает вид:

Отсюда для имеем:

Получили два решения, где - плоская волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х, а - плоская волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси х.

Продифференцируем по

Продифференцируем по

Рассмотрим случай

Непрерывный спектр:

Дискретный спектр:

Выберем

Получим плоскую монохроматическую волну:

где

групповая скорость, определяющая скорость переноса энергии.

Получим дисперсионное уравнение, соответствующее волновому уравнению:

(14)

Это дисперсионное уравнение, решение которого . Из (14) имеем:

Из уравнений Максвелла для вакуума в отсутствие источников при подстановке Е и Н в виде плоской монохроматической волны

имеем:

Мы видим, что векторы Е и Н плоской волны направлены перпен­дикулярно направлению распространения волны. Поэтому электромагнит­ные волны называются поперечными. Причем вторая пара уравнений одно­значно определяет взаимное расположение векторов k, Е и Н .

10. Плотность потока энергии

Плотность потока энергии в электромагнитной волне определяется вектором Пойнтинга:

В плоской волне:

где - плотность энергии.