Оглавление

1. Уравнения Максвелла. Потенциалы 2

2. Градиентная инвариантность 3

3. Калибровки 3

4. Функция Грина. Интеграл свертки 4

5. Функция Грина уравнения Пуассона 5

6. Функция Грина волнового уравнения 5

7. Запаздывающие потенциалы 8

8. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн 9

9. Плоские волны 10

10. Плотность потока энергии 12

11. Теорема Пойнтинга 12

12. Теорема взаимности 13

13. Основные понятия макроэлектродинамики 14

14. Линейные и нелинейные среды 16

15. Граничные условия 17

16. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде с учетом пространственно-временной дисперсии 30

17. Соотношения Линдхарда 28

18. Нормальные волны 29

19. Неоднородные среды 30

20. Диэлектрический эллипсоид 31

21. Симметрия кристаллов 37

22. Электромагнитные волны в немагнитных анизотропных средах 39

23. Влияние стационарного электрического поля на оптические свойства кристаллов 46

24. Применение эффекта Поккельса 48

Литература 52

1. Уравнения Максвелла. Потенциалы

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме:

или

(1)

Теорема Гаусса в операторной форме:

Теорема Стокса в операторной форме (рис.1):

где

Потенциалы электромагнитного

поля:

( 2)

где

Подставим соотношения (2) в уравнения Максвелла (1):

(3)

это уравнение превращается в тождество, так как

так как получим тождество

Раскрыв двойное векторное произведение, получим:

(4)

2. Градиентная инвариантность

Если заданы потенциалы А и , то этим вполне однозначно за­даются Е и Н, а значит, и поле. Однако одному полю могут соответ­ствовать разные потенциалы [2, § 18]:

(5)

При таком переходе

и

Таким образом, физический смысл имеют лишь те величины, которые инвариантны по отношению к преобразованию потенциалов (5). Поэтому все уравнения должны быть инвариантны относительно этого преобразова­ния. Эту инвариантность называют градиентной (калибровочной).

3. Калибровки

Калибровками называются дополнительные ограничения, которые накладываются на потенциалы А и , чтобы уравнения для потенциа­лов в конкретном случае были удобны для решения.

1. Калибровка Лоренца:

(6)

С учетом градиентной инвариантности (5) из (6) получим:

Отсюда следует условие, ограничивающее вид в градиентном преоб­разовании: , где □ - оператор Даламбера,

(7)

Из уравнения Максвелла в формуле (3) с учетом уравнения (6) получим:

(8)

Для получим:

Подставим в (5)

(9)

2. Калибровка Кулона:

Условие на f:

3. Калибровка поперечных волн:

4. Функция Грина. Интеграл свертки

Функция Грина позволяет найти частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Пусть где * означает интеграл свертки; G - ядро оператора Грина.

Тогда . Отсюда следует, что оператор Грина дол­жен удовлетворять уравнению

или через функцию Грина

.

Решение через функцию Грина имеет вид:

здесь интеграл берется по объему, где источник поля не равен нулю.

Функция Грина устанавливает связь между источником и наблю­дателем (рис.2).

Плотность заряда точечного

_{источника имеет вид:}

В этом легко убедиться:

.

5. Функция Грина уравнения Пуассона

Функция Грина уравнения Пуассона представляет потенциал точечного источника при условии, что заряд равен и расположен в начале координат:

Решение для произвольного распределения плотности заряда имеет

вид:

Подействовав с левой стороны оператором Лапласа и применив определения функции Грина и дельта-функции, получим:

6. Функция Грина волнового уравнения

Для нахождения функции Грина воспользуемся преобразованиями Фурье:

В частности, для фурье-образа дельта-функции получим:

Использование фурье-преобразований позволяет перейти от диф­ференциальных уравнений к алгебраическим по правилам замены опе­раторов алгебраическими множителями:

Функция Грина оператора Даламбера:

Перейдем к фурье-образу по времени:

- оператор Гельмгольца;

Перейдем к фурье-образу по координатам:

Связь фурье-образа с прообразом:

(10)

Вычислим интеграл (10). Перейдем к сферическим координатам:

Проинтегрируем по углу:

Данный интеграл находится с помощью теоремы о вычетах [5, с. 212]. Знаменатель имеет два полюса: k=+k₀. Оба они лежат на действительной оси. Выберем контур интегрирования, как пока­зано на рис.З. Вычет подынтегральной функции в точке k₀ (полюс первого порядка) равен

Тогда

Здесь воспользовались свойством четности дельта-функции. Перейдя к исходным переменным

получим:

Сделаем замену переменных:

где

Это дает: