Занятие 1.1.3. Спектральный анализ детерминированных сигналов

Вопросы:

Ряды Фурье.
Спектр периодического сигнала (АЧС, ФЧС).

Ряды Фурье

В большинстве случаев сигналы являются сложной функцией времени. Это усложняет задачу анализа прохождения сигналов через радиотехнические цепи. Для решения данной задачи сложный сигнал нужно представить в виде суммы более простых. Из математики известно, что любая функция f(x), удовлетворяющая условиям Дирихле (ограниченность функции), можно представить в виде ряда . В этой формуле - элементарные функции, - коэффициенты. Такое представление называется разложением по базисным функциям. Выбор наиболее рациональной системы базисных функций зависит от поставленной задачи. Например, для теоретического анализа сигнала целесообразно выбирать систему функций, обеспечивающую наиболее быстрое схождение данного ряда. Например, полиномы Чебышева, Эрнитта, Лежандра. Когда требуется наиболее точное представление сигнала минимальным количеством слагаемых, используются тригонометрические функции простых аргументов (синусов и косинусов). Это удобно по следующим причинам: гармоника – это единственный сигнал, который не меняет свою форму при прохождении через линейную цепь; можно использовать символьный метод анализа прохождения сигналов через цепь. Поэтому разложение по тригонометрическому базису очень широко применяется в радиотехнике.

Спектром сигнала называется совокупность простейших колебаний, дающих при суммировании данный сигнал. Очень широко в радиотехнике используется частотный спектр, представляющий совокупность гармонических колебаний, каждое из которых характеризуется своей частотой, амплитудой и начальной фазой. В этом случае говорят, что сигнал представлен в виде ряда Фурье. Наиболее применима теории цепей и сигналов комплексная форма ряда Фурье для периодического сигнала.

В этой формуле:

k = 0, 1, 2…

- частота повторения периодического сигнала.

Коэффициент называется коэффициент ряда Фурье и определяется как , который является комплексной амплитудой k-ой гармоники.

Таким образом, в спектре любого периодического сигнала содержится бесконечное количество гармоник с частотами, кратными частоте повторения сигнала.

Коэффициент - это комплексное число, которое можно представить в виде .

определяет амплитуду k-й гармоники в спектре

- определяет фазу k-й гармоники в спектре

От показательной комплексной формы нетрудно перейти к вещественной форме ряда Фурье. Для этого выделим в ряду Фурье парные слагаемые, например и и учтём, что а . Тогда .

Применим формулу Эйлера для косинуса .

Аналогично и получим .

Все коэффициенты парные, за исключением 0-го. Таким образом, в вещественной форме сигнал s(t) представляется в виде . Графически спектр сигнала удобно изображать в виде амплитудно-частотного спектра АЧС и фазочастотного спектра ФЧС.