4.6. Сочетания с повторениями

Если рассматривать неупорядоченные наборы, в которые входит k элементов из данных n, причем любой элемент может входить несколько раз (от 0 до k), то говорят, что рассматриваются сочетания с повторениями. Число таких всех сочетаний с повторениями обозначают .

Теорема. Число всех сочетаний с повторениями находится по формуле:

.

§5 Теорема сложения вероятностей

Теорема 1. (теорема сложения вероятностей). Если события А и В совместны, то справедлива формула

(1)

Следствие 1. Теорему 1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С:

(2)

Следствие 2. Если события А и В несовместны, то вероятность событий А и В равна нулю (так как произведение событий – невозможное событие), и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

(3)

Определение. Противоположными событиями называют два несов­местных события, образующих полную группу (то есть одно из них обязательно произойдет в результате опыта). Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать .

Замечание. Таким образом, заключается в том, что событие А не произошло.

Следствие 3. Вероятность противоположного события находится по формуле:

.

Теорема 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

(4)

Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (4).

Задача 1. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадает больше четырех очков?

Решение. Обозначим через событие А – выпало 5 очков; В – выпало 6 очков; С – выпало больше 4-х очков. Тогда ясно, что событие , где А и В – несовместные события. По формуле (3) получим

.

Задача 2. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.

Решение. Пусть событие А – из урны вынуто 5 шаров разного цвета, тогда событие , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле: :

а множество исходов, благоприятных событию – это число возможных наборов по 5 шаров только из шести черных:

Тогда а

Лекция 3 §6 Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Вероятность появления события В при условии, что событие А произошло, назовем условной вероятностью и обозначим символом (читается «В от А»), которое находится по формуле .

Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.

Пример 1. Пусть событие А – извлечение из колоды в 32 карты туза, а событие В – то, что и вторая вынутая из колоды карта окажется тузом. Тогда, если после первого раза карта была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется: Если же первая карта в колоду не возвращается, то осуществление события А приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, из которых только 3 туза. Поэтому

Пример 2. Если событие А – попадание в самолет противника при первом выстреле из орудия, а В – при втором, то первое попадание уменьшает маневренность самолета, поэтому увеличится по сравнению с вероятностью события А.

Теорема (теорема умножения вероятностей). Вероятность произве­дения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: , где А и В – зависимые события. (1)

Следствие 1. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что . Следовательно, (2) (так как события АВ и ВА совпадают).

Следствие 2. Для n сомножителей формула примет вид:

,

причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие наступили.

Задача 1. Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первого попадания равна 0,2, затем она не меняется при промахах, но после первого попадания увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумя выстрелами.

Решение. Пусть событие А – попадание при первом выстреле, а событие В – попадание при втором. Тогда р(А) = 0,2; р(В|А) = 0,4; р(АВ) = 0,2 · 0,4 = 0,08.

Определение 2. Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то есть .

Определение 3. Событие В называется зависимым от события А, если появление события А изменяет вероятность события В, то есть .

Замечание. Если событие В не зависит от А (по определению означает: р(В|А) = р(В)), то и А не зависит от В (по определению означает: р(А|В) = р(А)). Можно говорить, что А и В – независимые события.

Следствие 3. Теорема умножения для независимых событий имеет вид:

(3), то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.

Задача 2. 1-й стрелок попадает в цель с вероятностью 0,7. 2-й – с вероятностью 0,6. Оба стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Какова вероятность того, что хотя бы один из них попадет в цель?

Решение. Обозначим через событие А – 1-й стрелок попадает в цель; В – 2-й стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.

То есть событие , где А и В – совместные и независимые события, поэтому теорема сложения применяется в общем виде (см. §7, формула (1)), а теорема умножения – в виде (3) (§8, следствие 3).

Тогда

Задача 3. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятности следующих событий:

А – хотя бы одно попадание при двух выстрелах;

В – ровно одно попадание при двух выстрелах;

С – два попадания;

D – ни одного попадания.

Решение. Пусть событие Н₁ – попадание первого стрелка, Н₂ – попадание второго. Причем ; .

Тогда , _, , .

События Н₁ и Н₂ совместны и независимы, поэтому теорема сложения применяется в общем виде, а теорема умножения – в виде (3).

Следовательно,

р(С) = 0,6·0,7 = 0,42,

р(А) = 0,6 + 0,7 – 0,6·0,7 = 0,88,

р(B) = 0,6·0,3 + 0,7·0,4 = 0,46 (так как события и несовместны),

р(D) = 0,4·0,3 = 0,12.

Заметим, что события А и D являются противоположными, поэтому

р(А) = 1 – р(D) = 1 – 0,12 = 0,88.