§20 Математическое ожидание случайной величины, имеющей плотность вероятности

Определение. Пусть случайная величина X имеет плотность вероятности . Её математическим ожиданием называется число, которое находится по формуле: , при этом данный интеграл должен сходиться абсолютно.

Задача. Пусть случайная величина X задана плотностью вероятности .

Найти её математическое ожидание.

Решение. Используя формулу из определения, можем записать:

График плотности вероятности будет симметричен относительно прямой .

Теорема 1. Пусть случайная величина X равномерно распределена на отрезке , тогда ее математическое ожидание находится по формуле: .

Теорема 2. Пусть случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами и , тогда .

§21 Свойства математического ожидания

Эти свойства справедливы как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной. .

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. .

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р.

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то теорему можно сформулировать следующим образом: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np.

Пример. Вероятность отказа детали за время испытания на надёжность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.

Решение. Вероятность отказа детали за время испытания не зависит от числа других отказавших деталей, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание будет равно: (детали).

§22 Дисперсия дискретной случайной величины

Для того чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида:

	49	50	51			0	100
	0,1	0,8	0,1			0,5	0,5

Найдем М(Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М(Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, математические ожидания обеих величин равны, но если для случайной величины Х математическое ожидание М(Х) хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (причем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения случайной величины Y существенно отстоят от математического ожидания М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия. Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть – случайная величина и – ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность .

Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Теорема 1. Математическое ожидание отклонения равно нулю: .

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: , где – отклонение случайной величины от своего математического ожидания.

Замечание. Из определения следует, что дисперсия дискретной случайной величины есть постоянная величина.