М инистерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Основы теории кодирования на тему: «Построение биортогонального кода на базе матрицы Адамара»

Выполнил: студент группы К31 Волков М.А

Проверил: профессор Зеленевский В. В.

Оценка: ________

Серпухов 2012

Содержание

1. Задание на курсовую работу 3

2. Введение 4

3. Построение биортогонального кода на базе матриц Адамара 7

4. Преобразование построенного двоичного кода в недвоичный(q=4) и определение его параметров(N,K,D_min) 9

5. Построение функциональной электрической схемы кодера 11

6. Построение функциональной электрической схемы декодера 13

7. Заключение 14

Задание на курсовую работу по дисциплине «Основы теории кодирования»

1. На базе матриц Адамара построить биортогональный двоичный код (16,5,8).

2. Преобразовать построенный двоичный код в недвоичный код с основанием q=4, определить его параметры (N,K,D_min).

3. Построить схему функциональную электрическую кодера, осуществляющего кодирование исходной двоичной информации такой системой кодирования.

4. Предложить вариант построения декодера.

5. Результаты работы представить в виде пояснительной записки.

2. Введение

Функции Уолша и коды на их основе.

Известно, что любая дискретная функция может быть представлена рядом Фурье.

. (1.1)

1-я гармоника ;

2-я гармоника ;

i-я гармоника ; 0

В общем, составляющие ряда Фурье называются коэффициентами разложения, а такое представление сигналов называют гармоническим базисом Фурье.

Кроме этого, для задач кодирования информации (помехоустойчивого кодирования, адресного кодирования в системах связи с кодовым уплотнением канала) оказывается более удобным по сравнению с гармоническим базисом Фурье, дискретные базисы, которые носят названия по именам своих исследователей: базисы Лаггера, Хаара, Уолша. В технике кодирования наибольшее распространение получил базис функции Уолша.

Функции Уолша представляют собой дискретные последовательности на некотором единичном интервале Т, который распадается на несколько подинтервалов .

1

0 1 1

0 0 T t

-1

В данном случае таких подинтервалов четыре, количество подинтервалов всегда чётно. Внутри каждого подинтервала функция попеременно принимает значения «+1» или «-1», а на их границах «0» значения. Число знакоперемен на полуинтервале (I/2) характеризует порядок функции Уолша. Определённым образом размещённые и пронумерованные функции Уолша в различных порядках образуют полную ортогональную базисную систему, к достоинствам таких функций относят:

• удобство и простота генерации (на базе Т-триггеров и сумматоров по модулю 2);

• эти функции могут использоваться для разложения сигналов в произвольной форме (базис разложения Уолша).

Очевидно, что такие дискретные функции могут быть использованы и для построения помехоустойчивых кодов. Система функций Уолша и матриц Адамара образует базис функций Уолша-Адамара .

Элементарная функция Адамара представляет собой элементарный единичный положительный элемент, Н1=[1]. Понятно, что на таком единичном элементе генерировать код невозможно, однако с увеличением порядка матриц Адамара ситуация изменяется, так второй порядок матриц Адамара позволяет построить первую систему кодирования (1-й помехоустойчивый код):

В такой матрице n=2, количество информационных символов k=log₂M=1, минимальное кодовое расстояние d_min=1.

Ортогональность такой матрицы доказывается по формуле:

. (1.2)

В нашем случае: .

В цифровой технике использование «-1» представляет определённые неудобства, поэтому её заменяют «0».

В общем случае функции Уолша позволяют построить код Адамара любой сложности:

. (1.3)

Каждую строку такой матрицы можно рассматривать как отдельную кодовую комбинацию. Например, таблица кодирования для кода (8,3,4):

|1 1 1 1 1 1 1 1 |

|1 0 1 0 1 0 1 0 |

|1 1 0 0 1 1 0 0 |

=|1 0 0 1 1 0 0 1 |

|1 1 1 1 0 0 0 0 |

|1 0 1 0 0 1 0 1 |

|1 1 0 0 0 0 1 1 |

|1 0 0 1 0 1 1 0 |

Построенный таким образом код называется ортогональным кодом. Графическое представление базисной функции исходя из таблицы кодирования (код с параметрами (8,3,4)) будет следующее:

1

1-я кодовая комбинация

t

1 2 3 4 5 6 7 8

При реализации кодирующего устройства такая реализация представляет собой «+» или «-» источника питания за время Т. Известно также, что функция (3-я кодовая комбинация) может быть получена из 2-ой путём деления её частоты в 2 раза. Для этого нужно поставить на выходе счётный триггер, т.к. счетный триггер делит выходную частоту в 2 раза.

В данном курсовом проекте мы будем рассматривать матрицу Адамара H₁₆. Анализ представленной матрицы позволяет выявить некоторые полезные для практики свойства функции Уолша:

1. Для любых функций, за исключением нулевой среднее значение энергии сигнала равно «0», так как число «1» и «-1» равно.

2. Произведение двух любых функций образует новую функцию Уолша, принадлежащую этой же базисной системе. Произведение реализуется операцией «сложение по модулю 2». .

По аналогичной системе могут быть построены и другие ортогональные коды, например, (16,4,8), который будет рассмотрен ниже.