5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения по критерию Пирсона
Для
проверки соответствия эмпирического
ряда распределения нормальному закону
используют критерий
,
основанный на сравнении эмпирических
частот
с теоретическими
,
которые можно ожидать при принятии
определенной нулевой гипотезы.
Значение - наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно
,
Где k – число интервалов (после объединения), - теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления , сведём в табл. 6.
Таблица 6
Вычисление критерия при проверке нормальности распределения линейных размеров диаметра втулок
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Интервалы
|
Частота
|
|
|
|
4,97 – 5,08 5,08 – 5,19 5,19 – 5,30 |
17
|
15
|
4 |
0,267 |
5,30 – 5,41 |
19 |
21 |
4 |
0,190 |
5,41 – 5,52 |
29 |
27 |
4 |
0,148 |
5,52 – 5,63 |
18 |
22 |
16 |
0,727 |
5,63 – 5,74 5,74 – 5,85 |
17
|
15
|
4 |
0,267 |
|
100 |
100 |
- |
|
Правило
проверки гипотезы заключается в
следующем. Определяем по таблице
распределения
хи - квадрат критическое значение для
числа степеней свободы 𝛎=k-3
и заданного уровня значимости
.
Затем сравниваем
и
.
Если
,
то выдвинутая гипотеза о законе
распределения принимается.
Если
,
то выдвинутая гипотеза о нормальном
законе распределения отвергается с
вероятностью ошибки
.
Для
нашего примера
,
,
𝛎=5-3=2
(число интервалов после объединения
стало равным 5) и
.
Так как , то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе принимается. Можно сделать вывод, что распределение линейных размеров диаметра 100 втулок является нормальным.
6. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения по критерию Романовского.
Используя
величину
,
Романовский предложил оценивать близость
эмпирического распределения кривой
нормального распределения при помощи
отношения
где m - число групп; k = (m - 3 ) - число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения.
Если вышеуказанное отношение меньше 3, то расхождения эмпирических и теоретических частот можно считать случайными, а эмпирическое распределение - соответствующим нормальному. Если отношение больше 3, то расхождения могут быть достаточно существенными и гипотезу о нормальном распределении следует отвергнуть.
В
нашем примере
эмпирическое распределение соответствует
нормальному.
7. Задание для самостоятельной работы по оцениванию параметров и проверке гипотезы о нормальном законе распределения.
По выборочным данным, представленным в заданиях №1 – №10, требуется:
1) построить интервальный вариационный ряд распределения;
2) вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду: среднее выборочное значение, центральные моменты, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса, медиану, моду, коэффициент вариации;
3) построить гистограмму, полигон и кумуляту;
4) сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов асимметрии и эксцесса;
5) рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно;
6) проверить гипотезу о нормальном распределении по критерию согласия Пирсона и критерию Романовского.
№1. Предел прочности при сжатии 100 контрольных образцов бетона составил (МПа):
99,4 102,9 102,9 99 99,4 100,0 99,4 100,7 100,0 100,7 |
98,4 97,1 103,7 102,3 103,4 99 101,5 97,8 99,0 101,5 |
98,4 98,4 101,5 102,0 100,7 99,0 99,4 98,4 102,9 103,4 |
101,5 99,4 98,4 100,7 102,3 102,0 101,5 100,7 102,0 100,7 |
101,5 103,7 104,3 100,0 102,3 102,0 100,7 101,5 97,1 97,8 |
96,8 102,9 100,0 100,7 98,4 102,9 102,0 100,7 100,7 101,5 |
102,3 102,3 102,0 103,4 100,0 100,0 101,5 101,5 100,0 100,0 |
100,7 103,7 105,2 100,0 100,7 97,8 103,4 102,0 101,5 103,4 |
102,0 101,5 99,4 100,7 100,7 101,5 102,9 104,3 100,7 100,7 |
102,3 103,7 99,0 100,0 101,5 102,0 102,3 102,3 99,4 99,0 |
№2. Контрольные измерения коэффициента влажности песка для приготовления бетонной смеси в течение 100 дней показали следующие результаты:
0,55 0,80 0,80 0,79 0,62 0,59 0,93 0,66 0,75 0,07 |
0,47 1,12 0,75 0,63 0,15 0,81 0,97 0,86 0,59 0,40 |
0,98 0,36 0,88 0,69 0,98 0,72 0,38 0,26 0,70 0,58 |
0,25 0,85 0,94 0,25 0,77 0,26 0,67 0,62 0,42 0,95 |
0,62 0,45 0,75 1,10 0,36 0,16 0,77 0,58 0,60 0,29 |
0,71 0,85 1,11 0,65 0,58 0,05 0,34 0,57 0,18 0,78 |
0,87 0,88 0,65 1,01 0,60 0,78 0,68 0,84 0,82 0,07 |
0,21 0,77 0,68 0,87 0,42 0,43 1,14 0,20 0,82 0,44 |
0,73 0,48 0,87 0,60 0,12 0,44 0,91 0,77 0,31 0,85 |
0,74 0,69 0,51 0,36 0,92 0,61 0,81 0,51 0,49 0,46 |
№3. Предел прочности при сжатии 100 контрольных образцов бетона составил (МПа):
88 90 93 88 92 84 84 88 84 93 |
89 86 94 82 92 90 86 89 96 93 |
90 86 82 82 92 89 89 93 96 92 |
90 92 93 93 90 94 97 93 96 94 |
97 97 93 88 84 88 88 84 81 94 |
90 92 97 82 89 90 94 84 90 89 |
92 92 86 99 88 90 94 86 89 96 |
86 92 88 82 88 90 82 89 89 89 |
94 96 97 99 88 99 94 89 88 96 |
97 96 93 86 81 86 92 84 80 94 |
№4. Предел прочности при сжатии 100 контрольных образцов бетона составил (МПа):
40,1 66,8 46,7 58,5 54,0 66,8 54,5 89,5 34,7 33,9 |
52,3 76,5 55,5 52,2 54,3 44,7 53,5 46,5 66,8 50,5 |
89,5 49,5 55,6 52,3 48,3 49,5 47,3 54,0 51,3 23,5 |
66,8 66,8 76,5 26,3 40,3 51,4 58,3 32,4 76,5 91,4 |
34,4 45,5 50,6 66,8 22,8 76,5 44,9 41,1 34,1 76,5 |
33,7 50,1 45,5 3407 50,1 51,6 66,8 76,5 76,5 48,4 |
54,0 34,5 20,1 34,5 66,3 40,5 55,8 49,1 66,8 89,5 |
25,1 91,4 22,3 34,5 47,1 76,5 89,5 51,5 54,5 58,3 |
47,5 92,2 92,2 38,9 51,1 34,6 40,5 76,5 66,8 44,5 |
50,8 49,8 66,8 92,2 89,5 20,1 33,9 34,8 41,1 45,6 |
№5. Предел прочности при изгибе 100 контрольных образцов бетона составил (МПа):
5,9 11,6 9,2 4,1 3,3 2,3 3,9 9,2 0,87 9,2 |
5,9 5,9 3,9 7,9 6,2 5,9 3,2 8,1 0,84 11,6 |
5,9 9,2 3,9 10,2 2,3 7,9 1,2 3,9 7,9 3,9 |
8,1 5,9 6,2 7,9 3,9 4,1 4,1 1,2 3,9 10,6 |
3,9 5,9 0,3 4,1 0,3 5,0 4,8 5,2 5,9 10,6 |
4,1 5,9 2,9 4,9 1,2 5,9 3,4 4,8 6,4 4,1 |
4,1 4,1 3,8 2,8 3,9 4,3 5,3 3,9 5,1 6,4 |
4,1 5,9 4,3 7,8 7,9 10,6 4,7 4,8 10,6 3,9 |
6,1 5,9 4,8 3,9 4,1 10,6 9,2 4,9 6,3 4,1 |
11,6 2,3 4,1 7,9 2,7 2,3 4,1 1,2 9,2 1,8 |
№6. Контрольные измерения коэффициента химической стойкости 100 контрольных образцов бетона дали следующие результаты:
0,54 0,43 0,43 0,47 0,21 0,58 0,47 0,68 0,54 0,37 |
0,64 0,43 0,43 0,61 0,43 0,68 0,64 0,47 0,47 0,43 |
0,33 0,27 0,64 0,47 0,11 0,33 0,43 0,47 0,27 0,43 |
0,61 0,21 0,54 0,54 0,47 0,43 0,43 0,68 0,27 0,05 |
0,47 0,54 0,21 0,61 0,71 0,33 0,33 0,43 0,21 0,37 |
0,79 0,54 0,64 0,27 0,11 0,54 0,37 0,54 0,43 0,33 |
0,33 0,79 0,64 0,39 0,64 0,11 0,47 0,43 0,33 0,33 |
0,58 0,47 0,08 0,79 0,33 0,27 0,47 0,33 0,54 0,54 |
0,40 0,47 0,47 0,71 0,08 0,21 0,27 0,54 0,54 0,33 |
0,43 0,43 0,47 0,40 0,85 0,33 0,68 0,33 0,54 0,27 |
№7. Время сборки трубопроводного вентиля (сек.) на конвейере следующее:
12,54 12,55 12,94 12,77 13,21 13,60 13,21 12,92 13,75 12,98 |
12,76 12,89 13,41 13,25 13,30 13,09 12,59 13,08 12,94 13,18 |
13,35 12,83 13,22 12,83 13,17 13,26 12,65 13,01 13,00 13,29 |
13,21 13,07 13,18 13,05 12,84 12,85 12,74 12,88 13,32 12,57 |
12,98 13,15 13,41 13,32 13,36 13,70 12,87 13,51 13,05 13,60 |
12,95 13,11 12,66 13,76 13,22 12,88 13,47 13,39 13,82 13,22 |
12,92 13,10 13,08 12,86 12,84 13,27 13,27 12,82 13,76 13,16 |
13,13 13,01 13,10 12,93 12,98 13,55 13,34 13,03 12,78 13,00 |
13,92 13,20 13,29 13,16 13,41 12,91 13,22 13,18 12,72 13,32 |
12,57 13,28 13,79 13,15 12,78 13,90 12,65 13,61 13,27 13,20 |
№8. Расход меди (гр.) на изготовление трубопроводного вентиля составил:
109,6 106,8 110,3 106,7 104,5 116,6 114,9 113,3 110,4 110,8 |
112,6 106,9 114,5 108,9 108,6 107,9 110,8 106,3 107,1 104,7 |
112,6 113,4 109,1 111,4 108,6 106,1 107,3 112,9 107,8 104,1 |
111,2 104,1 112,0 110,4 111,9 109,6 105,1 109,7 110,0 105,0 |
109,5 111,8 110,2 111,2 110,8 112,6 109,4 113,5 111,2 107,4 |
113,3 104,0 106,5 107,3 116,6 107,3 107,2 113,6 111,8 112,9 |
111,0 110,3 106,9 106,9 106,4 113,3 107,6 108,6 108,6 108,6 |
116,8 109,7 111,3 108,6 109,9 107,8 112,1 109,2 111,6 110,9 |
108,7 109,4 104,7 105,3 112,1 110,2 109,9 111,0 107,9 110,9 |
115,7 106,9 110,3 113,4 112,3 115,5 110,8 114,7 108,6 107,3 |
№9. Время сборки электродвигателя общего назначения (сек.) на конвейере следующее:
102,0 104,7 102,8 102,6 104,3 101,1 100,8 102,0 103,9 101,8 |
108,4 107,8 103,5 101,2 103,1 101,9 101,8 103,5 103,3 104,8 |
106,9 107,1 102,9 104,4 103,1 101,5 101,3 103,7 101,8 105,3 |
104,6 101,2 103,9 102,7 105,2 104,9 102,8 108,3 103,7 100,8 |
103,6 101,5 101,5 103,8 105,2 105,2 104,3 104,9 104,2 103,8 |
105,3 102,8 105,5 102,6 101,9 102,3 105,3 103,3 101,0 106,4 |
101,8 106,7 103,9 103,6 104,6 104,3 103,1 103,9 100,2 109,6 |
101,2 102,0 105,1 103,3 106,2 105,6 103,4 106,2 100,5 102,7 |
102,7 105,4 104,6 102,8 103,2 102,5 104,7 104,9 105,9 101,2 |
105,7 102,3 102,8 102,3 102,2 101,6 106,2 105,3 104,2 105,3 |
№10. Затраты цветных металлов на изготовление одного промышленного светильника (гр.) составили:
101,6 101 89 93,7 101 91 98 91 98 95 |
104 91,6 93 98 104 91,1 93 89,3 93,2 95 |
101,1 89,1 95,2 93,5 101 95 95,1 91 95,9 95 |
98 89 98,5 95 86,3 95,7 98,2 98 95,8 95 |
104 104 108 108 91 95,2 86,8 86 86 93 |
93 104,2 89 93,9 98 95 93,4 95,5 98 98,8 |
98 101 93 93 93 81 92,6 93 95 98 |
95 91,9 96,8 89,9 98,7 91 89,6 93,2 95,6 95,6 |
96 98 98 86 101 95 89 95 95,7 98 |
104 76,3 108 91,8 87,4 81 93,5 86 98 81 |