2. Вычисление выборочных характеристик распределения.
Для вычисления среднего значения (математического ожидания, статистики), дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса рекомендуется следующий порядок вычислений.
Заменяем
интервальный ряд дискретным, для чего
все значения признака в пределах
интервала приравниваем к его серединному
значению, и считаем. Что частота относится
к середине интервала. Значения середин
интервалов равны
.
Составляем
табл. 3. Значения середин интервалов
заносим в графу 1, соответствующие
частоты – в графу 2 и т.д. в таблице
.
Пользуясь табл. 3, вычислим математическое ожидание:
.
В
нашем примере
мм и характеризует среднее значение
наблюдаемого признака.
Выборочный центральный момент k-го порядка равен:
.
Таблица 3
Вспомогательная таблица для вычисления выборочных характеристик
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
5,03 |
2 |
10,6 |
-0,8712 |
0,37949 |
-0,1653 |
0,07201 |
5,14 |
3 |
15,42 |
-0,9768 |
0,31805 |
-0,10356 |
0,03372 |
5,25 |
12 |
63,00 |
-2,5872 |
0,55780 |
-0,12026 |
0,025928 |
5,36 |
19 |
101,84 |
-2,0064 |
0,21188 |
-0,02237 |
0,00236 |
5,47 |
29 |
158,63 |
0,1276 |
0,00056 |
0,00000 |
0,00000 |
5,58 |
18 |
100,44 |
2,0592 |
0,23557 |
0,02695 |
0,00308 |
5,69 |
13 |
73,97 |
2,9172 |
0,65462 |
0,14690 |
0,03296 |
5,80 |
4 |
23,20 |
1,3376 |
0,44729 |
0,14957 |
0,05002 |
|
100 |
546,56 |
0 |
2,80526 |
-0,08808 |
0,22008 |
Для
проверки правильности вычисления
используем теорему:
.
В нашем примере теорема выполняется (табл. 3, графа 4).
Для данного примера выборочные центральные моменты равны:
,
,
.
Выборочная дисперсия равна центральному моменту второго порядка:
.
В
примере
,
а выборочное среднее квадратическое
отклонение
мм.
Выборочные
коэффициенты асимметрии
и эксцесса
определяются по формулам:
;
.
,
.
Медиана
– это значение признака
,
приходящееся на середину ранжированного
ряда наблюдений (
).
При четном числе наблюдений (
)
медианой является средняя арифметическая
двух значений, расположенных в середине
ранжированного ряда:
.
Если
ранжировать значения, попавшие в
медианный интервал
,
- интервал, в котором накопленная частота
впервые превышает половину объёма
выборки
,
- до значений
и
,
получим
.
Следовательно,
мм.
Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по формуле
,
где
означает номер медианного интервала,
(
)
– интервала, предшествующего медианному.
В
нашем примере
мм.
Мода
для совокупности наблюдений равна тому
значению признака (табл. 1), которому
соответствует наибольшая частота.
В
нашем случае вариант 5,43 имеет наибольшую
частоту (m=15).
Это означает, что
мм.
Для одномодального интервального ряда вычисление можно провести по формуле
,
где
означает номер модального интервала
(интервала с наибольшей частотой),
и
- номера предшествующего модальному и
следующего за ним интервалов.
В нашем примере
мм.
Так как , и почти не отличаются друг от друга, есть основания считать теоретическое распределение нормальным.
Коэффициент
вариации
.