1.3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1.3.1 Теоремы сложения вероятностей

В общем случае теорема сложения вероятностей для двух событий A и B определяется по формуле

. (2)

Если события A и B – несовместны, то есть AB = , P(AB) = 0, то

. (3)

Проиллюстрируем теорему сложения вероятностей на рисунке 5:

для случая а) ;

для случая б) .

а)		б)

Рисунок 5 – Сумма несовместных (а) и совместных (б) событий

Теорема сложения вероятностей для трех событий A, B, C может быть записана следующим образом:

Если события A, B, C – попарно несовместны, то

.

Согласно аксиоме 3 для счетного числа несовместных событий A₁, A₂, A₃,…

Пример 14 Правильная монета подбрасывается три раза. Найти вероятность события A = {герб выпал или один, или два раза}.

Решение. Пространство элементарных исходов данного эксперимента может быть представлено в условных обозначениях следующим образом:  = {РРР, ГРР, РГР, РРГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГГГ}, (n = 8).

Определим события B = {герб выпал один раз}; C ={герб выпал два раза}, которые несовместны.

Таким образом, для определения вероятности события A = {герб выпал или один, или два раза}, можем воспользоваться теоремой сложения вероятностей несовместных событий P(А) =  .

Все элементарные исходы данного пространства  равновероятны. Таким образом, для определения вероятностей событий B и С можем воспользоваться классическим методом определения вероятности. Выпишем исходы, благоприятные интересующим нас событиям:

B = {ГРР, РГР, РРГ}, (m = 3), P(B) ;

С = {ГРГ, ГГР, РГГ}, (m = 3), P(С) =  .

Тогда вероятность события А P(А) = 0,375+0,375 = 0,750.

Пример 15 Из трех карточек с цифрами 1, 4, 5 произвольным образом выбирают 2 и укладывают на стол в порядке их появления. Предполагая, что все возможные исходы данного опыта равновероятны, найти вероятность того, что полученное таким образом число будет или четное, или меньше 50.

Решение. Пространство элементарных исходов данного эксперимента может быть представлено следующим образом:  = {14, 15, 41, 45, 51, 54}, (n = 6).

Определим событие A = {полученное случайным образом число будет или четное, или меньше 50}.

Определим события B = {полученное случайным образом число будет четное}; C = {полученное случайным образом число будет меньше 50}, которые совместны.

Таким образом, для определения вероятности события A можем воспользоваться теоремой сложения вероятностей для двух совместных событий P(А) =  .

Все элементарные исходы данного пространства  равновероятны. Таким образом, для определения вероятностей событий А, В и С можем воспользоваться классическим методом определения вероятности. Выпишем исходы, благоприятные интересующим нас событиям:

B = {14, 54}, (m = 2), тогда P(B) = ;

С = {14, 15, 41, 45}, (m = 4), P(С) = _,

={полученное случайным образом число будет четное и меньше 50}, ={14}, (m = 1), P( ) = .

Тогда вероятность события А:

P(А) = = 0,833.