2.2.3 Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке:

f(x) = F (x).

По своему смыслу значения функции f(x) пропорциональны вероятности того, что исследуемая случайная величина примет значение где-то в непосредственной близости от точки x.

Функция плотности распределения f(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм задания закона распределения, но она применима только для непрерывных случайных величин. Функцию плотности распределения вероятностей f(x) еще называют дифференциальной функцией распределения, тогда как функцию распределения F(x) называют, соответственно, интегральной функцией распределения.

График функции плотности распределения f(x) называется кривой распределения.

Рассмотрим свойства, которыми обладает функция плотности распределения непрерывной случайной величины.

Свойство 1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция:

f(x)  0

(геометрически: кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс).

Свойство 2. Вероятность попадания значения случайной величины на участок от  до  определяется по формуле

;

(геометрически: эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x), осью Ох и прямыми x =  и x = ).

Свойство 3.

(геометрически: площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице).

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a, b], то

Свойство 4. Функция распределения F(x) может быть найдена по известной функции плотности распределения следующим образом:

.

Пример 27 Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

Определить дифференциальную функцию плотности распределения.

Решение. Определим дифференциальную функцию плотности распределения

Пример 28 Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций?

а) б)

в)

Решение. а) Проверим справедливость свойства 3:

В данном случае имеем

Функция неотрицательна для всех x. То есть заданная функция является функцией плотности распределения некоторой случайной величины.

б) Заданная функция не является плотностью распределения некоторой случайной величины, так как .

в) Проверим справедливость свойства 3:

В данном случае имеем

Функция неотрицательна для всех . То есть заданная функция является функцией плотности распределения некоторой случайной величины.

Вопросы для самоконтроля

1 Что называется случайной величиной?

2 Какие величины называются дискретными? непрерывными?

3 Что называется законом распределения случайной величины?

4 Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случай­ной величины? непрерывной?

5 Что характеризует функция распределения F(x) случайной величины?

6 Как определить вероятность попадания значения случайной величины в некоторый интервал с помощью функции распределения?

7 Что характеризует функция плотности распределения случайной величины? Укажите ее вероятностный смысл.

8 Для каких величин определена функция плотности распределения?

9 Может ли функция плотности распределения принимать отрицательные зна­чения?

10 Как связаны между собой функции F(x) и f(x)?

11 Какие случайные величины называются непрерывными?

12 Чему равна площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс?

13 Как определить вероятность попадания значения непрерывной случайной ве­личины в некоторый интервал с помощью функции плотности распределения?