1.5.3 Предельная теорема Пуассона

Пусть число экспериментов Бернулли велико ( ), а вероятность наступления события A в каждом испытании очень мала ( ), тогда вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз, приближенно равна

(13)

где произведение .

Пример 22 Предприятие для изучения качества выпускаемой продукции в случайном порядке выбирает 500 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Какова вероятность того, что из 500 изделий, выбранных для проверки, окажутся бракованными: а) ровно 5; б) не более 5; в) найдите наиболее вероятное число бракованных изделий среди 500 отобранных.

Решение. Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 500 независимых испытаний, состоящих в выборе для проверки изделия, в каждом из которых с вероятностью p = 0,002 может осуществиться событие A = {выбранное для проверки изделие оказалось бракованным}. Вероятность того, что выбранное для проверки изделие оказалось стандартным, q = 1 – 0,002 = 0,998.

В данном случае воспользуемся приближенной формулой Пуассона с параметром a = np, так как число испытаний n = 500 достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании p = 0,002 очень мала (p < 0,1), то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко:

;

a = np = .

а) Определим событие В = {из 500 изделий, выбранных для проверки, окажутся бракованными ровно 5}.

P(В) = 0,0361;

б) Определим событие С={из 500 изделий, выбранных для проверки, окажутся бракованными не более 5, то есть или 0, или 1, или 2, или 3, или 4, или 5}:

0,99941.

в) Определим наиболее вероятное число бракованных изделий среди 500 отобранных:

  m₀   , 0,002 m₀  1,002.

Наивероятнейшее число m₀ = 1.

Вопросы для самоконтроля

1 Какие испытания называются независимыми? Приведите примеры.

2 Какие испытания называются испытаниями Бернулли? Приведите примеры.

3 При каких условиях применяется формула Бернулли?

4 Что определяется по формуле Бернулли?

5 При каких условиях применяется предельная теорема Пуассона?

6 При каких условиях применяются предельные теоремы Myaвpa-Лапласа?

7 Что определяется по локальной теореме Муавра-Лапласа?

8 Что определяется по интегральной теореме Муавра-Лапласа?

9 Какое число называется наивероятнейшим числом наступлений события A в серии из n испытаний?

2 Случайные величины

2.1 Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания принимает значения, зависящие от случая.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: X, Y, Z, …, либо буквами греческого алфавита: , , , …, а их значения – строчными буквами латинского алфавита: x, y, z.

Дискретной называется случайная величина Х, которая в результате эксперимента Е может принимать только определенные изолированные друг от друга значения. Множество возможных значений дискретных случайных величин является конечным или счетным множеством.

Примеры дискретных случайных величин: число студентов в группе, успешно сдавших экзамен по математике; число клиентов банка, своевременно возвративших кредит; число звонков, поступивших в службу такси в течение часа, и т. д.

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый (конечный или бесконечный) промежуток числовой оси, называются непрерывными. (В дальнейшем будет дано более точное определение непрерывных случайных величин.) Множество возможных значений непрерывных случайных величин является несчетным множеством.

Примеры непрерывных случайных величин: время безотказной работы оборудования после очередного ремонта; время простоя клиента магазина в очереди; масса израсходованного автомобилем бензина на одном и том же расстоянии; отклонение размера изделия от номинала – являются непрерывными случайными величинами.