2º. Задание движения в полярных координатах

Задать движение в полярных координатах — это значит:

• задать закон изменения координат и по времени

, (1.4.3)

в вектор-функции .

Вектор-функция устанавливает связь положения точки с ее полярными координатами   и  .

Эта связь в векторной форме имеет вид

.

Введем орты и , вычисляемые через полярные координаты точки  .

Положим, по определению,

,

(1.4.4)

,

где

.

Очевидно:

— это орт радиус-вектора  точки  ,

— орт, показывающий направление

возрастания угла .

Иначе,

– это орт касательной к окружности радиуса

с центром в точке (орт касательной в точке ).

Орты и взаимно ортогональны.

Векторы  и называются базисом полярной системы координат.

Используя закон движения (1.4.3)

, (1.4.3)

и первое соотношение в (1.4.4)

,

(1.4.4)

,

получим

. (1.4.5)

Формула (1.4.5) — это векторный способ задания движения через полярные координаты.

В ней

.

3º. Скорость точки в полярных координатах

Дифференцируя (1.4.5), получим

. (1.4.6)

Формула (1.4.6) дает разложение вектора скорости  по базису полярной системы координат.

Отсюда следует, что

, , ,

и — полярные координаты скорости.

Вектор называется радиальной скоростью, а  — трансверсальной скоростью точки.

Учитывая ортогональность ортов и , из (1.4.6) находим выражение для модуля скорости  :

.

4º. Ускорение точки в полярных координатах.

Дифференцируя (1.4.6) по времени , получим

, (1.4.7)

где

, .

Вектор называется радиальным ускорением точки, а вектор — трансверсальным ускорением точки.

Замечание

Из (1.4.6) и (1.4.7) легко получить формулы для скорости и ускорения в круговом движении с учетом того, что на таком движении выполняются тождества .

§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах

1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки

1.1 Определение криволинейных координат точки

Определение 1

Криволинейными или, иначе, обобщенными координатами материальной точки будем называть три независимые величины , которые обладают следующими свойствами.

1. Для любых значений из некоторой области  трехмерного пространства переменных определена однозначная, дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция , такая, что ее векторное значение

(1.5.1)

задает положение материальной точки в абсолютном

пространстве при .

2. Для любого положения материальной точки в абсолютном пространстве можно поставить в соответствие одно и только одно значение переменных .

3. При любых значениях из области  смешанное произведение векторов не равно нулю, т.е.

. (1.5.2)

1.2. Прямая и обратная зависимости декартовых и криволинейных координат

Если задана система отсчета  , то в скалярной форме соотношение (1.5.1)

(1.5.1)

можно записать в виде

(1.5.3)

Из сформулированных в определении 1 свойств вытекает, что:

• функции , , однозначны и дважды непрерывно дифференцируемы;

• система (1.5.3) разрешима относительно обобщенных координат , так что

Разрешимость следует из теоремы о неявной функции, поскольку якобиан правой части системы (1.5.3) отличен от нуля при всех из области  .

Действительно, матрица Якоби для системы (1.5.3)

(1.5.3)

имеет вид

.

Ее определитель совпадает с левой частью неравенства (1.5.2)

. (1.5.2)

А потому

.

Данное неравенство выполняется в любой точке из области  .

Поэтому из определения 1 обобщенных координат следует, что справедливы условия теоремы о неявных функциях для системы уравнений (1.5.3), а из самой теоремы вытекает существование решений , ,  этой системы.