§4. Задание движения точки в полярных координатах

При описании кругового движения точки использовалось представление этого движения через закон изменения угла  и закон изменения (точнее сказать, закон сохранения неизменным) расстояния от точки отсчета  до геометрической точки  , с которой в момент времени  по положению совпадает материальная точка.

Иначе говоря, при описании движения точки использовались две переменные: и .

Такие переменные и , как правило, наиболее часто применяются для описания плоского движения материальной точки. Их называют координатами точки в полярной системе координат.

1º. Понятие полярной системы координат

Полярная система координат задается следующим образом (см. рис.1.4.1):

• фиксируем в плоскости движения точку отсчета  и ось  , проходящую через точку отсчета;

• задаем положительное направление отсчета расстояний от точки  вдоль этой оси; это направление совпадает с направлением орта .

Положительная полуось называется полярной осью.

Пусть в некоторый момент времени материальная точка  занимает на плоскости положение  , где .

Будем определять это положение расстоянием от точки  до точки  и углом  , который образует вектор с полярной осью.

Угол отсчитываем от полярной оси до вектора .

Положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки, если смотреть с конца орта , выбранного для ориентации данной плоскости и ортогонального ей.

Построенная таким образом система координат называется полярной системой, а координаты и называются полярными координатами точки.

полярная ось

Рис.1.4.1

Введем декартовую прямоугольную систему координат , в которой (см. рис.1.4.1):

— точка отсчета совпадает с полюсом полярной системы;

— совпадает с полярной осью;

— ортогональна плоскости движения, и орт является ее базисным вектором, определяющим ориентацию плоскости ;

— дополняет систему до правой.

Тогда связь декартовых и полярных координат точки задается очевидным соотношением

, , . (1.4.1)

Здесь , , — декартовые координаты точки ;  и  — ее полярные координаты, причем  и  изменяются в пределах и .

Из (1.4.1) вытекает, что и однозначно определяют координаты  и  точки  в плоскости  .

Из них легко получить обратную зависимость, т.е. зависимость полярных координат и  точки  от ее декартовых координат и ,

, . (1.4.2)

Второе равенство в (1.4.2) справедливо только при .

Если , , то из первого равенства в (1.4.1) получаем . А тогда с учетом второго равенства в (1.4.1) будем иметь:

• если , то ;

• если , то .

Если и , то , и угол может принимать любые значения.

Таким образом, если , то по координатам точки однозначно определяются ее полярные координаты и :

, ,

где функция называется функцией аргумент.

Она имеет следующую аналитическую структуру:

Функция не определена в точке и однозначна во всех остальных точках плоскости .