4.2. Естественная параметризация окружности

Используя соотношение (1.3.7), перейдем в (1.3.1)

, , (1.3.1)

от параметра к длине дуги .

В результате получим естественную параметризацию траектории движения точки в координатной форме

. (1.3.9)

В векторной форме она принимает вид

, .

Соотношения (1.3.9) в совокупности с (1.3.8) и (1.3.2):

, (1.3.8)

(1.3.2)

дают естественный способ задания кругового движения в координатной форме.

5º. Скорость и ускорение точки в круговом движении

5.1. Репер Френе при круговом движении точки

Построим явные зависимости ортов и репера Френе от радиуса и длины дуги на круговом движении.

Согласно формулам Френе, имеем

, , (1.3.10)

где — радиус кривизны.

Здесь воспользовались известным соотношением

для окружности.

После подстановки (1.3.6),(1.3.7):

, , ,(1.3.6)

, (1.3.7)

в формулу для направляющего вектора касательной находим

. (1.3.11)

Далее, введя обозначение

и подставляя в него (1.3.6)

, , ,(1.3.6)

получим зависимость орта от угла  в следующем виде:

.

А тогда, учитывая равенства (1.3.11) и (1.3.7):

, (1.3.11)

, (1.3.7)

окончательно для орта будем иметь

. (1.3.12)

Зависимость орта от и получим, подставив орт из (1.3.12) во вторую формулу Френе (1.3.10):

, (1.3.10)

После дифференцирования по выражение для вектора примет вид

. (1.3.13)

Формулы (1.3.12) и (1.3.13) позволяют вычислить два орта репера Френе в любой точке окружности.

Третий вектор репера Френе – орт бинормали совпадает с ортом . Он не зависит от положения точки на окружности.

5.2. Формулы для скорости и ускорения при круговом движении точки

Дадим теперь выражения для скорости  и ускорения  в круговом движении. Согласно выводам §2, скорость  и ускорение  будут вычисляться по формулам

, ,

где

— касательное ускорение,

— нормальное ускорение.

Введем обозначения

, .

Тогда выражения для векторов ,  ,  ,  и их модулей примут следующий вид:

, ;

, ; (1.3.14)

, ,

, .

Если введем векторы

, , , (1.3.15)

то через них скорость и ускорение точки в круговом движении можем записать в следующей форме:

, (1.3.16)

. (1.3.17)

Соотношение (1.3.16) называется формулой Эйлера для кругового движения материальной точки.

Соотношение (1.3.17) называется формулой Ривальса для ускорения материальной точки в круговом движении.

Справедливость формул (1.3.16), (1.3.17) легко устанавливается, если подставить в их левые части соотношения (1.3.14) для векторов и , а в правые — соотношения (1.3.15), (1.3.12), (1.3.13):

, , , (1.3.15)

. (1.3.12)

. (1.3.13)

и учесть очевидные равенства

, , ,

которые выполняются на кругового движении.

Для векторов приняты следующие названия:

— вектор углового поворота точки в круговом движении;

— вектор мгновенной угловой скорости кругового движения точки;

— вектор мгновенного углового ускорения в круговом движении точки.

Из (1.3.15)

, , , (1.3.15)

следует, что в любой момент времени  вектора , и ортогональны плоскости движения материальной точки.