2.2. Описание кругового движения координатным способом

Положение точки на окружности можем задать через радиус и угол по следующим формулам:

, , . (1.3.1)

Движение точки будет задано, если укажем закон изменения угла  от времени

, (1.3.2)

поскольку при круговом движении, согласно определению 2, выполняется тождество по

.

Таким образом, круговое движение можем задать в виде

, , . (1.3.3)

Формулы (1.3.3) дают координатный способ задания движения.

3º. Векторный способ задания кругового движения

3.1. Описание кругового движения векторным способом в общем случае

Обозначим  орт радиус-вектора  точки  относительно точки отсчета .

Согласно определению 2, на круговом движении должно выполняться

, (1.3.4)

, , . (1.3.5)

Тождества (1.3.5) справедливы для всех значений  из промежутка времени, в течение которого совершается движение.

В общем случае при движении точки орт меняет свое направление с изменением времени.

Задавая такой закон изменения направления орта  , при котором выполняются тождества (1.3.5), и, подставляя его в (1.3.4), придем к векторному способу задания кругового движения точки.

В частности, как и при координатном способе (см. п.2º), направление орта  можно задавать не в прямой зависимости от времени  , а, например, через закон изменения угла  поворота, который совершает радиус-вектор точки  относительно некоторого фиксированного положения  этой точки (см. рис.1.3.1).

3.2. Описание кругового движения через угол поворота

Направление  радиуса- вектора точки будем задавать суперпозицией функций

и .

В таком случае будем иметь

.

Следовательно, задание (1.3.4)

, (1.3.4)

кругового движения точки примет вид

.

В нем и удовлетворяют тождествам (1.3.5):

, , . (1.3.5)

Например, если в качестве фиксированного положения точки  , от которого отсчитывается угол  , взять положение

точки  (см. рис.1.3.2), то при всех  на круговом движении точки  будет выполняться равенство

,

поскольку в таком случае определение угла  совпадает с определением угла  .

Тогда орт  и круговое движение точки  через закон изменения угла  будут задаваться формулами

, , .(1.3.6)

Легко видеть, что два других тождества (1.3.5):

, , (1.3.5)

для вектор-функции  выполняются.

4º.Естественный способ задания кругового движения точки

4.1. Закон движения по окружности

В формуле (1.3.6)

, , (1.3.6)

вектор-функция  строится через угол , отсчитываемый от положительного направления оси  в плоскости движения материальной точки. Возможны и другие способы построения этой функции.

Например, можно задавать ее значения в зависимости от длины дуги окружности.

В естественном способе закон движения по траектории задается в виде

,

где – длина дуги траектории.

Будем отсчитывать длину дуги окружности от точки пересечения окружности с осью (см. рис.1.3.2). Положительное направление отсчета длины дуги считаем совпадающим с положительным направлением отсчета угла .

Тогда, как известно из геометрии, длина дуги выражается через угол соотношением

. (1.3.7)

Подставляя в (1.3.7) закон движения, задаваемый в форме (1.3.2)

, (1.3.2)

получаем

. (1.3.8)

Формула (1.3.8) дает закон движения точки по окружности в естественной параметризации.