4.3.4. Вільні коливання системи з одним степенем вільності. Інтерпретація руху на фазовій площині

Рівняння вільних коливань системи з одним степенем вільності і його розв’язок нічим не відрізняється від випадку, розглянутого в § 3.1.2. Тому коротко нагадаємо, що диференціальне рівняння цього руху і його розв’язок мають вигляд

; (4.121)

. (4.122)

Розглянемо інтерпретацію руху на фазовій площині.

Сукупність величин, що повністю характеризують стан системи в довільний момент часу, називають фазою системи. Для механічної системи з степенями вільності це узагальнені координати й узагальнені швидкості; ; всього 2 параметрів.

	Для системи з одним степенем вільності це два параметри ( і ). Розглядаючи їх як декартові координати і ; можна побудувати точку (рис. 4.19), координати якої визначають стан системи в певний момент часу на площині , яку називають фазовою площиною. Точку називають зображуючою.
Рисунок 4.19

Рух системи, зміна її фази і змушують зображуючу точку рухатися по фазовій площині і креслити криву, яку називають фазовою траєкторією.

Сукупність фазових траєкторій, здобутих для різних початкових умов, називають фазовою діаграмою, або фазовим портретом.

Рух зображуючої точки по фазовій траєкторії відбувається з фазовою швидкістю

, (4.123)

що має певні властивості для всіх фазових траєкторій незалежно від умов задачі. У верхній півплощині фазової площини . Отже, зображуюча точка у верхній півплощині фазової площини рухається зліва направо. Відповідно в нижній півплощині точка рухається справа наліво і перетинає вісь під прямим кутом (у точці перетину ).

Знайдемо диференціальне рівняння фазових траєкторій у загальному випадку. Розглянемо автономну систему, тобто систему, на яку діє збурювальна сила, незалежна від часу. Рівняння руху такої системи може бути написане у вигляді

. (4.124)

У фазових координатах і отримаємо систему рівнянь

(4.125)

У загальному вигляді система (4.125) запишеться так:

(4.126)

де і – деякі обмежені аналітичні функції.

Поділимо перше рівняння (4.126) на друге:

. (4.127)

Рівняння (4.127) називають диференціальним рівнянням фазових траєкторій. Інтегральні криві цього рівняння визначають фазові траєкторії.

Точку на фазовій площині з координатами , для якої і дорівнюють нулеві, називають особливою точкою. Ця точка відповідає положенню рівноваги системи.

Побудуємо фазовий портрет вільних коливань системи з одним степенем вільності.

Рівняння (4.121) запишемо у вигляді

(4.128)

і перейдемо до фазових координат: ;

,

де .

Рівняння фазових траєкторій має вигляд

(4.129)

Інтегруючи рівняння (4.129), знаходимо

. (4.130)

Позначимо цю сталу . Вираз (4.130) прийме вигляд

. (4.131)

В

Рисунок 4.20

ираз (4.131) означає, що фазовий портрет вільних коливань – сім’я еліпсів (рис. 4.20). Точку О називають центром. Вона відповідає положенню стійкої рівноваги. Початкові умови визначають той чи інший еліпс на фазовому портреті.