1.1.6. Теорема про рівновагу трьох непаралельних сил, прикладених до твердого тіла

Теорема. Якщо тверде тіло перебуває у рівновазі під дією трьох непаралельних сил, дві з яких лежать в одній площині, то лінії дії всіх трьох сил перетинаються в одній точці, а трикутник цих сил замкнений.

 Нехай тіло (рис. 1.4) перебуває під дією трьох непара- лельних сил , , , причому сили і лежать у площині рисунка, а лінії їхньої дії перетинаються в точці . Перенесемо ці сили в точку і знайдемо їх рівнодійну . Тверде тіло тепер перебуває в рівновазі під дією двох сил і . На підставі аксіоми про абсолютно тверде тіло робимо висновок, що лінія дії сили проходить через точку , і , тобто трикутник сил замкнений .

Рисунок 1.4

Застосування цієї теореми покажемо на прикладі.

Приклад 1.1. Визначити реакції опор невагомого стержня , який перебуває в рівновазі під дією активної сили (рис. 1.5, а).

Розв’язання. Розглянемо стержень AD, який перебуває в рівновазі під дією сили . Звільнивши його від в’язей – ідеального стержня і нерухомої опори , прикладемо реакції в’язей (рис. 1.5, б). і відповідно.

Реакція ідеального стержня проходить вздовж нього, а лінія дії реакції нерухомого шарніра на підставі теореми про “три сили” проходить через точку перетину ліній дії сил і . Отже, коли знайдено лінію дії невідомої реакції в’язі можна побудувати трикутник сил , і у певному масштабі сил (рис. 1.5, в). Якщо величина сили задана у вигляді числа, то, оскільки трикутник ( проведено паралельно лінії дії (рис. 1.5, б)) подібний до силового трикутника, бо сторони трикутників паралельні, можемо написати таку пропорцію:

.

а
б	в

Рисунок 1.5

Знайшовши довжини сторін трикутника , визначаємо величини сил

; .

1.1.7. Сили тертя ковзання і їхні властивості

Розглянемо докладніше дотичну складову реакції певної поверхні, яка дістала назву сили тертя ковзання для випадку сухого тертя, тобто тертя між поверхнями твердих тіл.

Як зазначалося в 1.1.3,

сили тертя залежать від фізичного стану поверхонь твердого тіла і в’язі, властивостей руху тіла, тощо.

Тертя ковзання (тертя першого роду) виникає, коли відносна швидкість точок тіл, що перебувають у контакті, не дорівнює нулеві. Тертя кочення (тертя другого роду) виникає при коченні без ковзання. У цьому разі відносна швидкість точок контакту дорівнює нулеві. Розрізняють ще тертя вертіння (тертя третього роду).

Розглянемо лише тертя першого роду, основні властивості якого відкрив відомий фізик Кулон.

Якщо одне тіло не рухається по поверхні іншого, то виникає сила тертя спокою, яка має неозначений напрям і величину. Але оскільки сила тертя – гальмуюча сила, то домовились вважати, що сила тертя спокою напрямлена протилежно напряму того руху, який почне здійснюватись, коли тіло вийде зі стану спокою під дією активних сил.

При взаємному русі тіл виникає сила тертя руху. Вона майже не залежить від величини відносної швидкості між тілами.

Сила тертя спокою завжди більша за силу тертя руху.

Основний кількісний закон тертя ковзання полягає в тому, що гранична величина сили статичного тертя пропорційна силі нормального стиску між поверхнями тіл:

, (1.1)

де – гранична величина сили тертя спокою; – сила нормального стиску поверхонь тіл; – коефіцієнт пропорційності, який називають коефіцієнтом статичного тертя ковзання.

Сила тертя спокою задовольняє нерівність

, (1.2)

де знак рівності відповідає станові граничної рівноваги між силою тертя й активними силами.

Сила тертя руху

, , (1.3)

де – коефіцієнт тертя руху.

Сила тертя руху напрямлена у бік, протилежний відносній швидкості.

Коефіцієнт тертя знаходять експериментально.

Кут тертя, конус тертя, кут природного укосу.

Нехай певне тіло А лежить у горизонтальній площині (рис. 1.6), на тіло діє сила . Розкладемо її на нормальну і дотичну складові до поверхні.

Рисунок 1.6

Нормальна складова спричиняє стиск між тілом і поверхнею і викликає нормальну реакцію поверхні. Позначимо її через . Дотична складова може викликати рух тіла у напрямі дотичної в тому разі, коли вона буде більшою за граничну силу тертя спокою.

Якщо позначити через кут між силою і нормаллю до поверхні, то модулі

.

Згідно (1.2), якщо

, (1.4)

то тіло перебуває в стані рівноваги. Вираз (1.4) може набути вигляду

. (1.5)

Якщо позначити через гострий кут між реакцією площини і нормаллю до її поверхні у стані граничної рівноваги, то на підставі (1.1)

. (1.6)

Кут називають кутом тертя.

Обертаючи навколо нормалі, дістанемо поверхню конуса, який називають конусом тертя.

Якщо лінія дії сили знаходиться всередині конуса тертя, то тіло перебуває в стані рівноваги, оскільки виконується нерівність (1.5):

; .

Тіло рухається якщо .

Зауважимо, що ці висновки не залежать від величини сили .

Розглянемо рівновагу важкої матеріальної точки на похилій шорсткій площині (рис. 1.7), яка утворює кут з горизонтом. Нехай вага точки дорівнює . Точка перебуває також під дією сили – нормальної складової реакції поверхні і сили тертя .

Точка знаходиться у стані граничної рівноваги, якщо

.

Звідси

або

. (1.7)

Граничне значення кута називають кутом природного укосу. Він дорівнює кутові тертя.

Доцільно розглянути ще один випадок урахування сили тертя в деяких механізмах. Уявімо собі, що треба підняти певний тягар за допомогою мотузка, який перекинуто через нерухомо закріплений блок (рис. 1.8).

В стані рівноваги при відсутності тертя натяг мотузка дорівнював би силі ваги тягаря. Але сила тертя збільшує натяг. Знайти цю силу можна за допомогою формули Ейлера

, (1.8)

де – кут обхвату блока мотузком ( подано в радіанах).

Рисунок 1.7

Рисунок 1.8

Задачі для самостійного розв’язування

Задача 1.1. Невагомі стержні та жорстко скріплені під прямим кутом у точці (рис. 1.9), . Знайти реакції рухомої опори і шарніра , якщо до кінця стержня прикладена під кутом 60 сила кН.

Відповідь: кН; кН.

Задача 1.2. Стержень зігнутий під прямим кутом у точці і прикріплений за допомогою шарніра С до стержня (рис. 1.10): ; . Визначити реакції шарнірів і , якщо вздовж діє сила Н. Стержні вважати невагомими.

Відповідь: Н; Н.

Рисунок 1.9	Рисунок 1.10

Задача 1.3. Однорідний стержень вагою 16 Н підтримується в горизонтальному положенні нерухомим шарніром і мотузком ВС, верхній кінець якого розміщено на одній вертикалі з (рис. 1.11): м, м. Знайти реакцію шарніра і натяг невагомого мотузка.

Відповідь: Н.

Рисунок 1.11