2.2.10. Миттєвий центр прискорень

У тих випадках, коли і одночасно не дорівнюють нулеві, можна знайти таку точку плоскої фігури, вектор прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулеві. Цю точку називають миттєвим центром прискорень. Якщо полюсом обрати миттєвий центр прискорень, то прискорення кожної точки плоскої фігури можна розглядати як прискорення обертального руху навколо миттєвого центра прискорень , тобто . Оскільки , то

.

Отже, вектор прискорення довільної точки утворює визначений за (2.80) кут з прямою, що з’єднує точку з миттєвим центром прискорень. Вираз (2.81) дає змогу знайти величину прискорення точки М

. (2.82)

Розглянемо два способи побудови миттєвого центра прискорень.

Спосіб 1. Нехай відоме прискорення точки (рис. 2.34), а також і . За (2.80) обчислимо кут і згідно з напрямом з точки проведемо промінь , що утворює з вектором кут . На цій прямій лежить миттєвий центр прискорень. Щоб знайти його положення на промені, обчислимо за (2.82) відстань .

Рисунок 2.34

Відкладаючи від обчислений відрізок , знаходимо положення миттєвого центра прискорень.

Спосіб 2. Припустимо, що відомі прискорення і двох точок та плоскої фігури (рис. 2.35). Щоб знайти миттєвий центр прискорень , визначимо кут , який, як було зазначено, не залежить від вибору полюса. Візьмемо точку за полюс. На підставі (2.79)

.

Рисунок 2.35

Побудувавши (рис. 2.35), визначимо кут між і вектором . Проведемо з точок та промені і , що утворюють кут з векторами і . Точка перетину цих променів – миттєвий центр прискорень.

Знаючи положення миттєвого центра прискорень та прискорення однієї точки плоскої фігури, можна побудувати напрями і знайти величини прискорень довільних її точок. Наприклад, прискорення точки знаходимо, з’єднавши точку з точкою і відкладаючи від цього відрізка кут у напрямі, протилежному до напряму найкоротшого переходу від до . Скориставшись виразом (2.82), обчислимо модуль вектора .

Зауважимо, що вираз (2.82) дає змогу встановити зв’язок між прискореннями точок плоскої фігури:

.

Отже, побудова миттєвого центра прискорень дозволяє повністю вирішити питання про розподіл прискорень точок при плоскопаралельному русі твердого тіла.

Приклади

Приклад 2.5. Розглянемо приклад застосування викладених вище способів визначення розподілу швидкостей у плоскій фігурі.

Механізм, зображений на рис. 2.36, складається з кривошипа , який обертається навколо осі з кутовою швидкістю рад/с. Зубчасте колесо радіусом 20 см котиться без ковзання по поверхні нерухомого колеса радіусом см і приводить до руху з’єднаний з ним шарнірно шатун см. Повзун С рухається вздовж вертикалі. Визначити кутову швидкість шатуна і швидкості точок і в момент, коли радіус перпендикулярний до кривошипа .

Рисунок 2.36

Розв’язання. Кутову швидкість шатуна, що здійснює плоскопаралельний рух, можна знайти, якщо відомі швидкості його точок. Точка спільна для шатуна і рухомого колеса. Тому необхідно розглянути спочатку розподіл швидкостей у рухомому колесі. Точка зчеплення рухомого і нерухомого коліс є миттєвим центром швидкостей рухомого колеса. Отже,

.

Швидкість точки легко знайти, розглядаючи обертальний рух кривошипа

см/с.

Таким чином,

см/с.

Цей самий результат можна дістати, якщо скористатися теоремою про проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що з’єднує ці точки.

Маємо

, або .

Для визначення швидкості точки і кутової швидкості шатуна побудуємо миттєвий центр швидкостей шатуна . Він знаходиться в точці перетину прямих і , перпендикулярних до векторів швидкостей точок і . На підставі (2.75)

.

Звідси

.

Елементарні геометричні розрахунки дають змогу визначити см, см. Тоді

см/с;

рад/с.

Приклад 2.6. Розглянемо застосування теореми про розподіл прискорень у тілі при плоскопаралельному русі.

У механізмі, зображеному на рис. 2.37, кривошип обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої осі і приводить до руху колесо ІІ, що котиться без ковзання по поверхні колеса І. Радіуси коліс однакові. Знайти прискорення точки колеса ІІ.

Рисунок 2.37

Розв’язання. Згідно з (2.79) прискорення довільної точки плоскої фігури складається з прискорення полюса і прискорення обертального руху точки навколо полюса. Полюс слід вибирати в точці, прискорення якої відоме, або його легко визначити з умови задачі. Такою точкою є точка А, швидкість якої . Прискорення точки А дорівнює тільки нормальному прискоренню і напрямлене від точки до центра О кривошипа

.

Щоб знайти прискорення , згадаємо, що

,

де ; .

Тут і – миттєва кутова швидкість і миттєве кутове прискорення колеса ІІ, які треба визначити.

З умови кочення без ковзання випливає, що швидкість точки колеса ІІ дорівнює нулеві, оскільки вона збігається з миттєвим центром швидкостей колеса ІІ.

Тоді миттєва кутова швидкість

і миттєве кутове прискорення

.

Отже, .

Таким чином, прискорення точки складається з двох векторів і , напрямлених уздовж спільної прямої в одну сторону. Додаючи їх, маємо

.

Вектор напрямлений уздовж прямої від точки до точки .