2.1.2. Способи визначення руху точки

Рух точки в просторі визначається трьома основними способами: векторним, координатним і натуральним.

Векторний спосіб найчастіше застосовують в різних теоретичних дослідженнях. Виберемо в просторі умовно нерухому точку О, відносно якої маємо дослідити рух точки М (рис. 2.1). Проведемо з точки О в точку М радіус-вектор . Криву, по якій рухається точка, називають її траєкторією. Зі зміною положення точки М на траєкторії відповідно змінюється вектор . Кожному моменту часу відповідає певне значення радіуса-вектора , тобто є функцією часу:

Рисунок 2.1

. (2.1)

Рівняння (2.1) визначає положення точки в просторі в довільний момент часу. Отже, воно визначає закон руху точки і називається векторним рівнянням руху точки. З геометричної точки зору рівняння (2.1) можна розглядати як рівняння траєкторії точки.

Розглянемо координатний спосіб. Визначимо поло-ження точки, застосовуючи ортогональну нерухому систему декартових координат (рис. 2.2). Координати точки однозначно визначають її положення. Кожному моменту часу відповідає сукупність координат точки М. Отже, координати точки є функціями часу

(2.2)

Рисунок 2.2

Функціональні залежності (2.2) називають кінематичними рівняннями руху точки. Вони дають змогу визначити положення точки в просторі в довільний момент часу, тобто є законом руху точки.

З аналітичної геометрії відомо, що (2.2) – це рівняння кривої, вздовж якої рухається точка, тобто рівняння траєкторії точки в параметричній формі. Щоб знайти рівняння траєкторії точки в координатній формі, досить з цих рівнянь вилучити параметр . Наприклад, розв’язуючи останнє рівняння системи (2.2) відносно і підставляючи це співвідношення в перші два рівняння, дістанемо

(2.3)

Два останні рівняння (2.3) визначають траєкторію точки як лінію перетину двох циліндричних поверхонь, що проектують траєкторію на координатні площини і .

Крім декартової, користуються й іншими системами координат: на площині – полярною системою координат ( ); у просторі – циліндричною ( ) або сферичною ( ) та іншими криволінійними системами координат. Закон руху точки в цих системах координат визначається аналогічно. Наприклад, у полярній системі координат рівняння руху точки мають вигляд

. (2.4)

Легко встановити зв’язок між векторним і координатним способами визначення руху точки. Проведемо з початку координат у точку М радіус-вектор і розкладемо його по ортах осей координат:

. (2.5)

Як відомо, координати точки М дорівнюють проекціям радіуса-вектора на координатні осі (рис. 2.2). Отже,

. (2.6)

Підставивши (2.6) в (2.5), дістанемо

. (2.7)

Залежність (2.7) установлює зв’язок між векторним і координатним способами визначення руху точки.

К

Рисунок 2.3

оординатний спосіб визначення руху точки в просторі застосовують як у теоретичних дослідженнях, так і при розв’язуванні конкретних задач.

Натуральним способом визначення руху точки користувався ще Л.Ейлер [ 5 ]. Припустимо, що траєкторія АВ точки М відома (рис. 2.3). Виберемо фіксовану точку О на траєкторії як початкову. Умовимося вважати один напрям від початкової точки О вздовж траєкторії додатним, а протилежний – від’ємним. Положення точки на траєкторії визначимо довжиною дуги , тобто дуговою координатою точки. Кожному моменту часу відповідає певне положення точки на траєкторії, отже, і певне значення її дугової координати. Таким чином, дугова координата є функцією часу

. (2.8)

Рівняння (2.8) називають законом руху точки по траєкторії. Закон руху точки в просторі визначається сукупністю всіх даних: траєкторією точки, положенням початкової точки О, додатним і від’ємним напрямами відліку і рівнянням (2.8).

Натуральний спосіб визначення руху точки в просторі застосовують і в різних теоретичних дослідженнях, і при розв’язуванні конкретних задач. Особливо доцільно його застосовувати, коли відомі форма і положення в просторі траєкторії точки.

Розглянемо поняття про шлях, який проходить точка М. Зауважимо, що слід розрізняти дугову координату і шлях , що його проходить точка за проміжок часу . Щоб визначити шлях , розіб’ємо проміжок часу на проміжки ( ) так, щоб протягом кожного проміжку точка рухалася в одному напрямі. Нехай кожному проміжку часу відповідає приріст дугової координати . Шлях визначається так

. (2.9)

Зрозуміло, що шлях є монотонно зростаючою функцією часу.

Звичайно, між натуральним способом визначення руху точки і першими двома способами існує зв’язок. Не вдаючись до подробиць, зауважимо, що радіус-вектор точки при натуральному способі визначення руху точки можна розглядати як функцію дугової координати , тобто як складну функцію часу

(2.10)

. (2.11)

Зв’язок між натуральним і координатним способами визначення руху легко знайти, обчислюючи за відомими формулами диференціальної геометрії елемент дуги траєкторії:

. (2.12)

Вибір знака кореня відповідає вибору додатнього напряму відліку дугової координати при незмінному напрямі руху точки по траєкторії.