
- •Передмова
- •1.1.2. Означення статики
- •1.1.3. Механічні в’язі та їхні реакції
- •В’язь – гладенька поверхня
- •Гостре вістря або ребро
- •В’язь – шорстка поверхня
- •В’язь – невагома, нерозтяжна ідеальна нитка
- •В’язь – стержень
- •В’язь – нерухома шарнірна опора
- •В’язь – жорстке защемлення (заробка)
- •1.1.4. Аксіоми про в’язі та їхні реакції
- •1.1.5. Класифікація сил. Метод перерізів
- •1.1.6. Теорема про рівновагу трьох непаралельних сил, прикладених до твердого тіла
- •1.1.7. Сили тертя ковзання і їхні властивості
- •Запитання для самоконтролю
- •1.2. Основні властивості систем сил, прикладених до абсолютно твердого тіла
- •1.2.1. Аналітичне визначення ковзного вектора.
- •1.2.2. Система збіжних сил. Умови рівноваги
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •1.2.3. Аналітичне визначення ковзного вектора рівнодійної системи двох паралельних сил. Центр паралельних сил
- •1.2.4. Пара сил. Момент пари сил. Властивості пар сил
- •Запитання для самоконтролю
- •1.3. Перетворення систем сил. Умови рівноваги
- •1.3.1. Аналітичне визначення головного вектора і головного моменту системи сил
- •1.3.2. Умови рівноваги вільного твердого тіла
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •1.3.3. Зведення систем сил до найпростішого вигляду. Інваріанти системи сил відносно центра зведення
- •2. Якщо ; , то система сил зводиться до пари сил.
- •3. Якщо і – система зрівноважується.
- •1.3.4. Центр паралельних сил і центр ваги
- •1.4. Розрахунково-графічна робота із застосуванням комп’ютера
- •Завдання на розрахунково-графічнУ роботУ
- •Ферма з позначеними силовими зонами
- •Діаграма Максвелла-Кремони
- •На діаграмі зображено:
- •2.1.2. Способи визначення руху точки
- •2.1.3. Годограф векторної функції
- •2.1.4. Швидкість руху точки
- •2.1.5. Прискорення руху точки
- •Приклади
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •2.2. Кінематика абсолютно твердого тіла
- •2.2.1. Основні положення
- •2.2.2. Поступальний рух твердого тіла
- •2.2.3. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
- •Координати точки м і орт не залежать від часу; орти , є функціями часу. Отже,
- •Приклади
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •2.2.6. Плоскопаралельний рух твердого тіла. Рівняння руху
- •2.2.7. Розподіл швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі
- •2.2.8. План швидкостей
- •2.2.10. Миттєвий центр прискорень
- •Приклади
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •2.2.11. Додавання обертальних рухів тіла навколо осей, що перетинаються
- •Аксоїди. Теорема Пуансо
- •2.2.13. Теорема Ейлера. Кути Ейлера. Рівняння руху твердого тіла з нерухомою точкою
- •2.2.14. Розподіл швидкостей і прискорень точок тіла з нерухомою точкою
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •2.3. Складний рух матеріальної точки
- •2.3.1. Основні положення
- •2.3.2. Теорема про додавання швидкостей точки
- •2.3.3. Теорема про додавання прискорень точки
- •2.4. Складний рух твердого тіла
- •2.4.1. Додавання поступальних рухів тіла
- •2.4.2. Пара обертань
- •2.4.3. Додавання обертань тіла навколо паралельних осей
- •2.4.4. Додавання поступального і обертального рухів тіла
- •2.4.5. Метод “зупинки” (метод Вілліса)
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •2.5. Розрахунково-графічна робота із застосуванням комп’ютера
- •Завдання на розрахунково-графічнУ роботУ
- •1. Спроектувати за допомогою комп’ютера механізм, при цьому зобразити ланки, які здійснюють:
- •2. Роздрукувати механізм для заданого положення кута та для трьох положень кута 60, 120, 240.
- •3. Зобразити кутові швидкості всіх ланок та вектори швидкостей усіх точок механізму, вказавши положення миттєвих центрів швидкостей (рис. 2.76 – 2.78)
- •4. Побудувати план швидкостей (рис. 2.76 - 2.78)
- •5. Зобразити кутові прискорення всіх ланок та вектори прискорень усіх точок механізму за допомогою плану прискорень (рис. 2.79–2.81)
- •2.6 Знайти положення миттєвих центрів прискорень
- •Розділ 3 динаміка
- •3.1. Динаміка матеріальної точки
- •3.1.1. Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної точки. Основні задачі динаміки точки
- •3.1.2. Прямолінійні коливання точки
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •3.2. Динаміка системи матеріальних точок
- •3.2.1. Основні поняття
- •3.2.2. Диференціальні рівняння руху невільної системи
- •3.2.3. Принцип Даламбера
- •3.2.4. Динаміка відносного руху точки
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •3.3. Основні теореми динаміки
- •3.3.1. Теорема про зміну кінетичної енергії точки
- •Приклади
- •3.3.2. Елементи теорії потенціального силового поля. Закон збереження повної механічної енергії
- •3.3.3. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи
- •3.3.4. Обчислення моментів інерції
- •3.3.5. Теорема про рух центра мас системи
- •3.3.6. Теореми про зміну кількості руху системи і зміну кінетичного моменту
- •Приклади
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •3.4. Елементи теорії удару
- •Співудар двох куль
- •Теорема Остроградського-Карно (про зміну кінетичної енергії при ударі)
- •Фізичний маятник під дією удару
- •Приклади
- •3.5. Розрахунково-графічна робота із застосуванням комп’ютера
- •Завдання на розрахунково-графічнУ роботУ
- •Завдання
- •1. Визначимо значення сили , за яких кочення відбувається без ковзання, а також її граничні значення, коли зчеплення котка з дорогою знаходиться на межі зриву
- •Сила f зчеплення з площиною у ньютонах
- •2. Знайдемо межі зміни прискорення центра мас котка, за умови його кочення без ковзання
- •Прискорення центра мас в м/с2
- •3. Для граничних значень сили р знайдемо рівняння руху котка, якщо у початковий момент він перебував у стані спокою
- •4. Змоделюємо рух котка для обох граничних випадків за отриманими законами руху
- •4.1.2. Принцип можливих переміщень. Загальне рівняння статики
- •4.1.3. Принцип Даламбера-Лагранжа. Загальне рівняння динаміки
- •Приклади
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •4.2.2. Загальне рівняння статики в узагальнених координатах. Узагальнені рівняння рівноваги
- •4.2.3. Рівняння Лагранжа другого роду
- •4.2.4. Методика застосування рівнянь Лагранжа другого роду
- •1. Диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі
- •2 Диференціальні рівняння плоскопаралельного руху твердого тіла
- •4.2.5 Рух системи в консервативному полі. Кінетичний потенціал
- •4.2.6. Рівняння Лагранжа другого роду для дисипативних систем. Функція Релея
- •4.2.7. Кінетична енергія і функція Релея в узагальнених координатах
- •4.2.8. Узагальнене рівняння енергії. Фізичний зміст функції Релея
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •4.3. Малі коливання матеріальної системи
- •4.3.1. Положення стійкої рівноваги. Теорема Лагранжа-Діріхле і теореми Ляпунова
- •4.3.2. Диференціальні рівняння малих коливань системи в околі положення стійкої рівноваги
- •4.3.3. Вільні коливання системи з степенями вільності
- •4.3.4. Вільні коливання системи з одним степенем вільності. Інтерпретація руху на фазовій площині
- •4.3.5. Вплив сил опору на вільні коливання системи. Згасаючі коливання
- •4.3.6. Вимушені коливання системи. Вплив сил опору на вимушені коливання
- •4.3.7. Дослідження амплітудно-частотних характеристик системи
- •Приклади
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •1. Складемо рівняння Лагранжа іі роду
- •3. Визначимо натяги у нитках, до яких прикріплені вантажі 1 і 4;
- •4. Змоделюємо рух механічної системи з отриманими законами руху.
- •Завдання на розрахунково-графічнУ роботУ
- •Завдання
- •1. Складемо рівняння Лагранжа іі роду
- •Знайдемо власні частоти коливань.
- •3. Визначимо закони руху еліптичного маятника.
- •4. Змоделювати рух еліптичного маятника за отриманими законами руху.
- •Список літератури
- •А українсько-російський словник
- •Предметний покажчик
1.3.4. Центр паралельних сил і центр ваги
У підрозділі 1.2.3 введено поняття центра паралельних сил .
Виведемо
формулу, за якою можна знайти радіус-вектор
цієї точки.
Нехай для довільної системи паралельних сил (рис. 1.37) виконується умова
,
яка
свідчить, що система сил зводиться до
рівнодійної
,
на лінії дії якої знаходиться точка
– центр паралельних сил. Проводимо
– радіус-вектор точки
,
– радіус-вектор точки
прикладання сили
,
а також
– радіус-вектор точки
відносно точки
.
Знайдемо головний момент системи сил
відносно точки
.
На підставі теореми Варіньйона (1.50)
.
(1.51)
Рисунок 1.37
Але
ця сума дорівнює нулеві, оскільки точка
лежить на лінії дії рівнодійної
.
Враховуючи, що
,
,
з (1.51) маємо
. (1.52)
Розглянемо
орт
–
одиничний вектор напряму системи
паралельних сил. Кожну силу подамо у
вигляді
(1.53)
і підставимо (1.53) в (1.52):
.
Дістанемо
.
(1.54)
Необхідна і достатня умова рівності нулеві векторного добутку (1.54) при будь-якому напрямі вектора (положення точки зберігається при повороті всіх сил разом на однаковий довільний кут) полягає у рівності нулеві виразу у круглих дужках (1.54):
.
Звідси
.
(1.55)
Координати центра паралельних сил у прямокутній системі декартових координат з початком у точці :
;
;
.
(1.56)
Далі
розглянемо систему матеріальних точок,
відстань між якими значно менша, ніж
радіус земної кулі. При цьому сили ваги
цих точок можна вважати паралельними
силами.
Центром ваги системи матеріальних точок називають центр паралельних сил ваги точок системи.
Його координати знайдемо на підставі (1.56):
;
;
.
(1.57)
Вагою Р системи називають суму сил ваги окремих точок.
.
(1.58)
Якщо треба знайти координати центра ваги неоднорідного твердого тіла (рис. 1.38), то розглядають такі граничні вирази:
;
;
(1.59)
при
зменшенні кожного елемента
до нуля.
У результаті граничного переходу дістанемо
;
;
.
(1.60)
Рисунок 1.38
Якщо
тіло однорідне, то інтеграли в (1.60)
поширюються на об’єм тіла
.
Позначаючи
через
питому вагу тіла, дістанемо
;
і далі
;
;
,
(1.61)
де
–
елемент об’єму тіла.
Отже, з (1.61) випливає, що центр ваги однорідного тіла збігається з його центром об’єму, тобто не залежить від фізичних властивостей речовини, з якої виготовлене тіло.
Вирази
в чисельниках (1.61) іноді називають
статичними моментами об’єму відносно
координатних площин
,
,
.
Якщо однорідне тіло плоске, тобто має сталу товщину , то
,
де
– елемент площі площини симетрії тіла,
з якою зв’яжемо координатну площину
.
Центр
ваги тіла знаходиться в цій площині,
тому
.
Координати
і
дістанемо з виразів
;
,
(1.62)
де
– площа основи пластини.
Вирази
в чисельниках (1.62) називають статичними
моментами площі відносно координатних
осей
і
відповідно.
Центр
ваги однорідного стержня зі сталою
площею поперечного перерізу
дістанемо з формул (1.61):
;
;
,
(1.63)
де
;
;
– довжина стержня.
У чисельниках правих частин (1.63) стоять криволінійні інтеграли.
Оскільки положення центра ваги однорідного стержня не залежіть від площі його поперечного перерізу, та формули (1.63) визначають центр ваги лінії.
Запитання для самоконтролю
Дайте аналітичне визначення головного вектора і головного моменту відносно центра.
Назвіть інваріанти системи сил відносно центра зведення.
Що таке приєднана пара сил?
Що таке силовий гвинт?
Коли система сил еквівалентна рівнодійній?
Коли система сил еквівалентна парі сил?
Сформулюйте теорему Варіньйона для довільної просторової системи сил.
Сформулюйте фізичні умови рівноваги системи сил.
Чим відрізняється головний вектор від рівнодійної системи сил?
Чи можна вважати центр ваги тіла центром паралельних сил?
У чому полягають графічні умови рівноваги довільної просторової системи сил, прикладеної до абсолютно твердого тіла?
У чому полягають аналітичні умови рівноваги довільної просторової системи сил, довільної системи сил на площині, які прикладені до абсолютно твердого тіла?
Запишіть аналітичні умови рівноваги системи паралельних сил.
Запишіть формули для визначення координат центра ваги однорідного об’ємного тіла; плоского тіла.
Як звести систему сил до одного центра?